1. R 中的什么公式lm用于调整 r 平方？

如前所述，键入summary.lm将为您提供 R 用于计算调整后的 R 平方的代码。提取您得到的最相关的行：

ans$adj.r.squared <- 1 - (1 - ans$r.squared) * ((n - df.int)/rdf)

在数学符号中对应于：

假设有一个截距（即df.int=1），是您的样本大小，是您的预测变量数。因此，您的错误自由度（即）等于。$n$$p$rdfn-p-1

该公式对应于 Yin 和 Fan (2001) 标注的 Wherry Formula-1（显然还有另一个不太常见的 Wherry 公式，它在分母）。他们建议按出现的顺序最常见的名称是“Wherry 公式”、“Ezekiel formlua”、“Wherry/McNemar 公式”和“Cohen/Cohen 公式”。$n-p$$n-p-1$

2.为什么有这么多调整后的r平方公式？

$R^2_{adj}$旨在估计，即总体回归方程解释的总体方差比例。虽然这显然与样本量和预测变量的数量有关，但最好的估计量是什么就不太清楚了。因此，您有模拟研究，例如 Yin 和 Fan (2001)，它们根据估计的程度评估了不同的调整 r 平方公式（请参阅此问题以进行进一步讨论）。$\rho^2$$\rho^2$

和之间的差异随着样本量的增加而变小。随着样本量趋于无穷大，差异接近于零。随着预测变量的减少，差异也会变小。$R^2$$R^2_{adj}$

3. 如何解释？$R^2_{adj}$

$R^2_{adj}$是总体中由真实回归方程解释的方差比例的估计值。您通常会对感兴趣，而您对变量的理论线性预测感兴趣。相反，如果您对使用样本回归方程进行预测更感兴趣（在应用设置中通常是这种情况），那么某种形式的交叉验证会更相关。$\rho^2$$\rho^2$$R^2$

参考

• 尹 P. 和范 X. (2001)。估计收缩：不同分析方法的比较。实验教育杂志，69（2），203-224。PDF格式$R^2$

关于您的第一个问题：如果您不知道如何计算，请查看代码！如果你summary.lm在控制台中输入，你会得到这个函数的代码。如果您浏览代码，您会发现一行：ans$adj.r.squared <- 1 - (1 - ans$r.squared) * ((n - df.int)/rdf). 如果您查看此行上方的某些行，您会注意到：

• ans$r.squared： 是你的$R^2$
• n是残差数 = 观察数
• df.int是 0 或 1（取决于你是否有截距）
• rdf是你的剩余 df

问题 2：来自维基百科：“已调整$R^2$是一个修改$R^2$根据模型中解释项的数量进行调整。'