机器算法验证 - 单尾假设检验的证明 - 吾爱随笔录

单尾假设检验的证明

机器算法验证假设检验

2022-01-27 16:40:32

我理解双尾假设检验。你有（与）。值是生成的数据至少与观察到的数据一样极端的概率。 $H_0 : \theta = \theta_0$ $H_1 = \neg H_0 : \theta \ne \theta_0$ $p$ $\theta$

我不明白单尾假设检验。这里，（相对于）。p 值的定义不应该从上面改变：它应该仍然是生成数据的概率，至少与观察到的一样极端。但我们不知道，只知道它的上限是。 $H_0 : \theta\le\theta_0$ $H_1 = \neg H_0 : \theta > \theta_0$ $\theta$ $\theta$ $\theta_0$

因此，相反，我看到文本告诉我们假设（不是根据）并计算生成数据的概率至少与观察到的一样极端，但仅在一端. 从技术上讲，这似乎与假设无关。 $\theta = \theta_0$ $\theta \le \theta_0$ $H_0$

现在，我知道这是常客假设检验，常客没有在他们的上放置先验。但这不应该仅仅意味着假设是不可能接受或拒绝的，而不是把上面的计算强加到图片中吗？ $\theta$

4个回答

这是一个深思熟虑的问题。许多文本（可能出于教学原因）都讨论了这个问题。真正发生的事情是 $H_0$ 是您单方面情况下的复合“假设”：它实际上是一组假设，而不是单个假设。有必要对每一个可能的假设 $H_0$ ，测试统计量落在临界区域的机会必须小于或等于测试大小。此外，如果测试实际上是要达到其标称大小（这对于实现高功率是一件好事），那么这些机会的上限（接管所有零假设）应该等于标称大小。在实践中，对于涉及某些“好的”分布族的简单的单参数位置测试，对于具有参数的假设，可以达到这个上确率 $\theta_0$ . 因此，实际上，所有计算都集中在这一分布上。 但我们不能忘记该系列的其余部分 $H_0$ ：这是双面测试和单面测试之间的关键区别（以及一般的“简单”和“复合”测试之间）。

这会微妙地影响对单边测试结果的解释。当空值被拒绝时，我们可以说反对真实自然状态的证据是 $H_0$ . 当 null 没有被拒绝时，我们只能说存在一个分布 $H_0$ 这与观察到的数据“一致”。我们并不是说所有的分布 $H_0$ 与数据一致：远非如此！其中许多可能产生极低的可能性。

我看到 $p$ -值作为 I 类错误的最大概率。如果 $\theta \ll \theta_0$ ，I 类错误率的概率实际上可能为零，但就这样吧。从极小极大的角度来看测试时，对手永远不会从零假设的“内部”深处汲取灵感，而且力量也不应该受到影响。对于简单的情况（ $t$ -test，例如）可以构造一个具有保证的最大 I 类速率的测试，允许这样的单边零假设。

如果只有一个方向的结果支持您试图得出的结论，您将使用单边假设检验。

根据您提出的问题来考虑这一点。例如，假设您想查看肥胖是否会增加心脏病发作的风险。您收集的数据可能包括 10 个肥胖者和 10 个非肥胖者。现在假设由于未记录的混杂因素、糟糕的实验设计或只是运气不佳，您观察到 10 名肥胖者中只有 2 名心脏病发作，而非肥胖者中有 8 名。

现在，如果您要对这些数据进行双向假设检验，您会得出结论，肥胖与心脏病发作风险之间存在统计学上显着的关联 (p ~ 0.02)。但是，该关联将与您实际期望看到的方向相反，因此测试结果会产生误导。

（在现实生活中，产生这种违反直觉的结果的实验可能会导致更多本身有趣的问题：例如，数据收集过程可能需要改进，或者可能存在以前未知的风险因素在起作用，或者也许传统智慧完全是错误的。但这些问题与使用哪种假设检验的狭隘问题并不真正相关。）

这 $p$ -value 是相应事件在以下条件下的概率 $H_0$ 是真的。最简单的玩具示例是掷两次硬币。2面 $H_0$ 会是你认为硬币公平，即你扔一个头和一个尾巴。的概率是 $0.5$ . $H_1$ 在这种情况下，您认为它偏向一侧或另一侧，即您要么抛出两个正面，要么抛出两个反面。概率又是 $0.5$

对于一个 1 面 $H_0$ 想一想你把钱放在正面的游戏。你可以接受硬币是公平的，但当然也可以接受它偏向正面。这是你的 $H_0$ 你有一个头和一个尾或两个头的可能性： $0.75$ 可能性。 $H_1$ 只是剩下的两个尾巴的情况，你会称之为犯规： $0.25$ 可能性。请注意，因为您认为从公平到偏向正面的整个区域作为您的默认两条尾巴，所以被认为更不可能，甚至更暗示某些事情不按顺序排列。

现在当我们的事件 $H_1$ 然而，它们的概率是在相应条件下的 p 值 $H_0$ 是真的- 如上所述。因此，根据您的信心水平，您可以或不能拒绝您的 $H_0$ 的。

您可以自己在 R 中试验这个玩具示例，您还应该尝试不同的绝对数以及正面和反面的组合：

> binom.test(2,2,alternative="two.sided")

    Exact binomial test

data:  2 and 2
number of successes = 2, number of trials = 2, p-value = 0.5
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5
95 percent confidence interval:
 0.1581139 1.0000000
sample estimates:
probability of success 
                     1

> binom.test(2,2,alternative="greater")

    Exact binomial test

data:  2 and 2
number of successes = 2, number of trials = 2, p-value = 0.25
alternative hypothesis: true probability of success is greater than 0.5
95 percent confidence interval:
 0.2236068 1.0000000
sample estimates:
probability of success 
                     1

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