机器算法验证 - 线性变换后随机向量的协方差 - 吾爱随笔录

线性变换后随机向量的协方差

机器算法验证协方差

2022-01-18 19:42:39

如果 $\mathbf {Z}$ 是随机向量并且 $A$ 是一个固定矩阵，有人可以解释为什么

c o v [A Z] = A c o v [Z] A^{⊤} .

$\mathrm{cov}[A \mathbf {Z}]= A \mathrm{cov}[\mathbf {Z}]A^\top.$

1个回答

对于随机（列）向量 $\mathbf Z$ 具有平均向量 $\mathbf{m} = E[\mathbf{Z}]$ ，协方差矩阵定义为 $\operatorname{cov}(\mathbf{Z}) = E[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]$ . 因此，协方差矩阵 $A\mathbf{Z}$ ，其平均向量为 $A\mathbf{m}$ ，是（谁）给的

\begin{aligned} cov (A Z) & = E [(A Z - A m) (A Z - A m)^{T}] \\ = E [A (Z - m) (Z - m)^{T} A^{T}] \\ = A E [(Z - m) (Z - m)^{T}] A^{T} \\ = A cov (Z) A^{T} . \end{aligned}

$\begin{align}\operatorname{cov}(A\mathbf{Z}) &= E[(A\mathbf{Z}-A\mathbf{m})(A\mathbf{Z}-A\mathbf{m})^T]\\ &= E[A(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^TA^T]\\ &= AE[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]A^T\\ &= A\operatorname{cov}(\mathbf{Z})A^T. \end{align}$

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