就像 Karl Broman 在他的回答中所说，贝叶斯方法可能比使用置信区间要好得多。

置信区间的问题

为什么使用置信区间可能效果不佳？一个原因是，如果您对某个项目没有太多评分，那么您的置信区间将会非常宽，因此置信区间的下限会很小。因此，没有太多评分的项目最终会排在列表的底部。

然而，直观地说，您可能希望没有太多评分的项目接近平均项目，因此您希望将项目的估计评分调整为所有项目的平均评分（即，您希望将估计评分推向先前的评分） . 这正是贝叶斯方法所做的。

贝叶斯方法 I：评级的正态分布

一种将估计评级移向先验的方法是，如 Karl 的回答，使用形式的估计$w*R + (1-w)*C$：

• $R$是项目评分的平均值。
• $C$是所有项目的平均值（或您想要缩小评级的任何先前值）。
• 请注意，该公式只是一个加权组合$R$和$C$.
• $w = \frac{v}{v+m}$是分配给的权重$R$， 在哪里$v$是啤酒的评论数量，并且$m$是某种恒定的“阈值”参数。
• 请注意，当$v$非常大，即当我们对当前项目有很多评分时，那么$w$非常接近 1，所以我们的估计评分非常接近$R$而我们很少注意之前的$C$. 什么时候$v$虽小，但$w$非常接近于 0，因此估计的评分非常重视先验$C$.

事实上，当个别评分来自以该平均值为中心的正态分布时，该估计值可以被给予贝叶斯解释，作为项目平均评分的后验估计。

但是，假设评级来自正态分布有两个问题：

• 正态分布是连续的，但评级是离散的。
• 项目的评级不一定遵循单峰高斯形状。例如，也许您的商品非常两极分化，因此人们倾向于给它一个非常高的评价或给它一个非常低的评价。

贝叶斯方法 II：评级的多项式分布

因此，让我们假设一个多项分布，而不是假设收视率的正态分布。也就是说，给定一些特定的项目，有一个概率$p_1$一个随机用户会给它 1 星，一个概率$p_2$随机用户会给它 2 星，依此类推。

当然，我们不知道这些概率是多少。随着我们对这个项目的评价越来越多，我们可以猜到$p_1$接近$\frac{n_1}{n}$， 在哪里$n_1$是给它 1 星的用户数量和$n$是对该项目进行评分的用户总数，但是当我们刚开始时，我们什么都没有。所以我们先放置一个狄利克雷 $Dir(\alpha_1, \ldots, \alpha_k)$在这些概率上。

这个狄利克雷先验是什么？我们可以想到每一个$\alpha_i$参数作为某个虚拟人给予物品的次数的“虚拟计数”$i$星星。例如，如果$\alpha_1 = 2$,$\alpha_2 = 1$, 和所有其他$\alpha_i$等于0，那么我们可以认为这是说两个虚拟人给了物品1星，一个虚拟人给了物品2星。因此，在我们获得任何实际用户之前，我们可以使用这个虚拟分布来提供对项目评级的估计。

[一种选择方法$\alpha_i$参数将设置$\alpha_i$等于总票数的比例$i$星星。（请注意，$\alpha_i$参数不一定是整数。）]

然后，一旦实际评级进入，只需将它们的计数添加到 Dirichlet 之前的虚拟计数中。每当您想要估计您的项目的评级时，只需对所有项目的评级（其虚拟评级和实际评级）取平均值。

这种情况迫切需要贝叶斯方法。有简单的贝叶斯评级排名方法here（特别注意评论，这很有趣）和here，然后进一步评论这些here。正如第一个链接中的一条评论指出的那样：

The Best of BeerAdvocate (BA) ... 使用贝叶斯估计：

加权排名 (WR) = (v / (v+m)) × R + (m / (v+m)) × C

其中：
R = 啤酒的评论平均值
v = 啤酒的评论数
m = 需要列出的最低评论数（当前为 10）
C = 整个列表的平均值（当前为 2.5）

该问题引用了 Evan Miller 的文章“如何不按平均评分排序”。米勒还发表了一篇文章“使用星级对项目进行排名”，解决了这个确切的问题。

假设您有 𝐾 可能的评分，由 𝑘 索引，每个评分都值得 𝑠𝑘 分。对于“星级”评级系统，𝑠𝑘=𝑘。（即，1 分，2 分，...。）假设给定项目已收到 𝑁 总评分，𝑛𝑘 评分为 𝑘。然后可以使用标准对项目进行有效排序：

$$S(n_1, \ldots, n_k) = \sum_{k=1}^K{s_k \frac{n_k + 1}{N + K}} - z_{\alpha/2} \sqrt{\left(\left(\sum_{k=1}^K s_k^2 \frac{n_k + 1}{N + K}\right) - \left(\sum_{k=1}^K{s_k \frac{n_k + 1}{N + K}}\right)^2\right)/(N + K + 1)}$$

其中𝑧𝛼/2 是正态分布的 1−𝛼/2 分位数。上述表达式是平均评级的贝叶斯可信区间的正态近似下限。设置 𝛼=0.10 (𝑧=1.65)，𝑋 的排序标准意味着 95% 的时间，项目的平均评分大于𝑋，至少根据信念结构。

米勒的方法不需要列出最少数量的评论，这很好。