的对数只是接近（从正面）的极限是。所以对数概率的值范围是。$1$$0$$x$$0$$\log x$$-\infty$$(-\infty, 0]$

真正的优势在于算术。对数概率不像概率那么容易理解（对于大多数人来说），但是每次你将两个概率相乘（除了），你最终会得到一个更接近的值。处理非常接近的数字可能会在有限精度近似下变得不稳定，因此使用对数会使事情变得更加稳定，在某些情况下更快更容易。为什么你需要更多的理由呢？$1 \times 1 = 1$$0$$0$

我想补充一点，对概率或概率密度取对数通常可以简化某些计算，例如在给定一些参数的情况下计算密度的梯度。特别是当密度属于指数族时，记录后通常包含比以前更少的特殊函数调用。这使得手动求导更简单（因为乘积规则变得更简单的求和规则），并且还可以导致更稳定的数值导数计算，例如有限差分。

作为说明，让我们以概率函数的泊松为例。尽管是离散的，但这个函数对于 λ 是平滑的，并且对于关于的导数变为简单的，它涉及两个简单的操作。对比$e^{-\lambda}\frac{\lambda^{x}}{x!}$$x$$\lambda$$\log f_x= -\lambda + x*\log(\lambda) - \log(x!)$$\lambda$$\frac{\partial \log f_x}{\partial \lambda} = -1 + \frac{x}{\lambda}$$\frac{\partial f_x}{\partial \lambda} = \frac{e^{-\lambda } (x-\lambda ) \lambda ^{x-1}}{x!}$，其中涉及自然取幂、实取幂、阶乘计算，以及最糟糕的是除以阶乘。即使在这个简单的例子中，这都涉及更多的计算时间和更少的计算稳定性。对于更复杂的概率函数，以及在观察随机变量的独立同分布样本时，结果会变得复杂，因为这些是在对数空间中相加的，同时在概率空间中相乘（同样，导数计算复杂化，以及引入更多的浮点另一个答案中提到的错误）。

这些梯度表达式用于最大后验 (贝叶斯) 和最大似然估计量的分析和数值计算。它也用于矩量法估计方程的数值解，通常通过牛顿法（涉及 Hessian 计算或二阶导数）。在这里，记录和未记录的复杂性之间的差异可能很大。最后，它用于显示具有高斯误差结构的最小二乘和最大似然之间的等价性。$\ell_0$

作为 Greg Snow 回答中提到的过程的一个示例：我经常使用高级编程语言（Octave、Maxima[*]、Gnuplot、Perl 等）来计算贝叶斯模型比较的边际可能性之间的比率。如果尝试直接计算边际似然比，计算中的中间步骤（有时也是最终结果）经常超出解释器/编译器中浮点数实现的能力，产生的数字非常小，以至于除了零之外，计算机无法分辨它们，因为所有重要信息都在于这些数字实际上并不完全为零。另一方面，如果一个人始终以对数概率工作，并在最后取边际似然的对数之间的差，

[*]有时，Maxima 通过使用有理数算术而不是浮点算术来规避问题，但不一定能依赖于此。

这可能不是您感兴趣的，但统计物理学中的对数概率与能量和熵的概念密切相关。 （开尔文）下处于平衡状态的物理系统，两个微状态 A 和 B 之间的能量差与系统处于状态 A 或状态 B 的概率的对数有关：$T$

$$E_\mathrm{A} - E_\mathrm{B} =-k_\mathrm{B}T \left[ \ln(P_\mathrm{A}) - \ln( P_\mathrm{B}) \right]$$

因此，统计物理学家经常使用对数概率（或它们的缩放版本），因为它们在物理上是有意义的。例如，气体分子在恒定温度下，在均匀引力场（接近地球表面的良好近似）下，大气中的势能为，其中是气体分子的质量，是加速度重力，是分子在表面以上的高度。在建筑物的顶层与在底层找到气体分子的概率（假设楼层具有相同的体积并且从地板到天花板的高度很小）由下式给出：$mgh$$m$$g$$h$

$$mg (h_\mathrm{top} - h_\mathrm{bottom}) \approx -k_\mathrm{B} T \left[ \ln (P_\mathrm{top}) - \ln(P_\mathrm{bottom}) \right]$$

这个概率与两层楼的气体浓度无关。较高楼层的浓度较低，较重分子的浓度随高度衰减得更快。

在统计物理学中，在与对数概率成正比的量（能量、熵、焓、自由能）和与概率成正比的量（微状态数、配分函数、状态密度）之间来回切换通常很有用。