$f(x;\theta)$是随机变量在点处的密度，其中是分布的参数。是和在点是随机变量时才有意义。是给定的条件分布是随机变量时才有意义。当您深入阅读本书并查看贝叶斯分析时，这将变得更加清晰。$X$$x$$\theta$$f(x,\theta)$$X$$\Theta$$(x,\theta)$$\Theta$$f(x|\theta)$$X$$\Theta$$\Theta$

$f(x;\theta)$与相同，只是意味着是固定参数，函数是的函数。，OTOH，是函数族（或集合）的元素，其中元素由索引。一个微妙的区别，也许，但一个重要的区别，特别是。当需要根据已知数据时；此时，变化而是固定的，从而产生“似然函数”。的使用在统计学家中更为常见，而$f(x|\theta)$$\theta$$f$$x$$f(x,\Theta)$$\Theta$$\theta$$x$$\theta$$x$$\mid$$;$数学家之间。

我相信这是可能性范式的起源（虽然我没有检查过下面的实际历史正确性，但这是理解它是如何产生的一种合理的方式）。

假设在回归设置中，您将有一个分布：

这意味着：如果您知道（有条件地）和值$Y$$x$$\beta$

如果要估计 beta，则需要最大化似然性：

本质上，您现在将表达式视为 beta 的函数，但除此之外，没有区别（对于您可以正确推导的数学正确表达式，这是必要的 - - 尽管实际上没有人打扰）。$p(Y | x, \beta)$

然后，在贝叶斯设置中，参数和其他变量之间的差异很快就会消失，所以你开始混合使用这两种表示法。

因此，本质上：没有实际区别：它们都表示左侧事物的条件分布，以右侧事物为条件。

尽管并非总是如此，但通常在不是随机变量时使用（这并不是说它们必然是已知的）。的值为条件。不是随机变量时使用这种表示法是令人困惑的（并且悲惨地很常见）。$P(z; d, w)$$d,w$$P(z | d, w)$$d,w$$d, w$

正如@Nick Sabbe 指出的那样，是观察数据的采样分布的常用符号。一些常客会使用这种表示法，但坚持认为不是随机变量，这是 IMO 的滥用。但他们在那里没有垄断地位；我已经看到贝叶斯也这样做了，在条件句的末尾添加了固定的超参数。$p(y|X, \Theta)$$y$$\Theta$