我推荐 Rob Hyndman 1996 年在The American Statistician上发表的文章“计算和绘制最高密度区域”。以下是 HDR 的定义，取自那篇文章：

令为随机变量的密度函数。那么 HDR 是的样本空间使得 其中是最大常数，使得 $f(x)$$X$$100(1-\alpha)\%$$R(f_\alpha)$$X$

$$R(f_\alpha) = \{x\colon f(x)\geq f_\alpha\},$$ $f_\alpha$ $$P\big(X\in R(f_\alpha)\big)\geq 1-\alpha.$$

那篇文章中的图 1 说明了 75% HDR（所以）和其他各种 75% 概率区域之间的差异，用于混合两个法线（是第个分位数，是平均值，是密度的标准偏差）：$\alpha=0.25$$c_q$$q$$\mu$$\sigma$

一维的想法是取一条水平线并将其向上移动（到），直到其上方和密度下方的区域为。那么 HDR轴的投影。$y=f_\alpha$$1-\alpha$$R_\alpha$$x$

当然，所有这些都适用于任何密度，无论是贝叶斯后验还是其他。

这是 R 代码的链接，它是hdrcde包（以及 JSTOR 上的文章）。

对于某个给定的置信水平，最高后验密度 [区间] 基本上是后验密度上的最短区间。最高密度区域可能与应用于任何任意密度的想法相同，因此不一定是后验分布。

如果是你的置信水平，你总能找到两个分位数，会给你一个工作区间。不过有一堆，它们都有不同的长度。你想要最短的。$1-\alpha$$q_{1-\alpha/2 + c}$$q_{\alpha/2 -c}$

如果您的密度是单峰的，那么最短的间隔将发生在两个分位数和上，使得。$f(\cdot)$$a$$b$$f(a) = f(b)$

海德曼 (1996)：

• 对于给定概率 1-α，覆盖样本空间的区域应具有尽可能小的体积。

• 区域内的每个点的概率密度至少应与区域外的每个点一样大。

这些区域称为最高密度区域（HDR）

HDR 最独特的属性之一是概率覆盖的所有可能区域中，HDR 具有样本空间中可能的最小区域。“最小”是指一些简单的度量，例如通常的 Lebesgue 度量；在一维连续的情况下，这将是最短的间隔，而在二维的情况下，这将是表面的最小面积。在贝叶斯分析中，类似的方法称为最高后验密度区域 (HPD)，后验密度用作度量。

HPD是贝叶斯统计中定义可信区间的方法之一。

可信区间是未观察到的参数值以特定概率落入的区间。它是后验概率分布或预测分布域中的区间。对多元问题的概括是可信区域。

可信区间在后验分布上不是唯一的。定义合适的可信区间的方法包括：

• 选择最窄的区间，对于单峰分布，这将涉及选择那些具有最高概率密度的值，包括众数（最大后验）。这有时称为最高后验密度区间 (HPDI)。
• 选择低于该区间的概率与高于该区间的概率相同的区间。这个区间将包括中位数。这有时称为等尾区间。
• 假设均值存在，选择均值作为中心点的区间。