一个充分的统计数据总结了样本中包含的所有信息，因此无论我们给您样本还是仅提供统计数据本身，您都可以做出相同的参数估计。它是在不丢失信息的情况下减少数据。

这是一个例子。假设具有关于零的对称分布。我没有给你一个样本，而是给你一个绝对值的样本（这就是统计数据）。你看不到标志。但是您知道分布是对称的，因此对于给定值，和的可能性相同（条件概率为）。所以你可以掷一枚公平的硬币。如果出现正面，则将设为负数。如果出现反面，则使其为正。的样本具有相同的分布。您基本上能够从统计数据中重建数据。这就是它足够的原因。$X$$x$$-x$$x$$0.5$$x$$X'$$X$

用贝叶斯术语来说，你有一些可观察的属性$X$和一个参数$\Theta$. 联合分布为$X,\Theta$是指定的，但考虑为条件分布$X\mid \Theta$和先验分布$\Theta$. 一个统计$T$当且仅当$\Theta\mid X$是一样的$\Theta\mid T(X)$,对于每个先验分布 $\Theta$. 换句话说，你更新的不确定性$\Theta$知道价值后$X$与您更新的不确定性相同$\Theta$知道价值后$T(X)$，无论你有什么先前的信息 $\Theta$. 请记住，充分性是一个依赖于模型的概念。

有点令人惊讶的是，这种充分性的贝叶斯定义是由 Kolmogorov 提出的（参见Rikhin (1990)第 1012 页的第二段）。

假设你有一枚硬币，你不知道它是否公平。换句话说，它有概率$p$出现正面（$H$） 和$1 - p$出现的尾巴（$T$)，而你不知道$p$.

你试图了解$p$抛硬币几次，说$n$次。

比方说$n = 5$你碰巧得到的结果就是序列$(H, H, T, H, T)$.

现在你想让你的统计学家朋友估计$p$对你来说，也许会告诉你硬币是否可能是公平的。您需要告诉他们哪些信息，以便他们进行计算并得出结论？

你可以告诉他们所有的数据，即$(H, H, T, H, T)$. 这有必要吗？你能在不丢失任何相关信息的情况下总结这些数据吗？

很明显，抛硬币的顺序无关紧要，因为每次抛硬币都在做同样的事情，而且抛硬币不会相互影响。如果结果是$(H, H, T, T, H)$相反，例如，我们的结论不会有任何不同。因此，您真正需要告诉您的统计学家朋友的只是计数有多少头。

我们通过说正面的数量是 p 的充分统计量来表达这一点。

这个例子给出了这个概念的味道。如果您想了解它如何与正式定义联系，请继续阅读。

形式上，如果给定统计量的值，结果的概率分布不涉及参数，则统计量对于参数就足够了。

在这个例子中，在我们知道正面的数量之前，任何结果的概率是$p^\text{number of heads}(1 - p)^\text{n - number of heads}$. 显然这取决于$p$.

但是一旦我们知道正面的数量是 3（或任何其他值），所有有 3 个正面的结果（$(H, H, T, H, T)$,$(H, H, T, T, H)$,$...$）同样可能（实际上有十种可能性，所以它们都有概率$1/10$）。所以结果的条件分布不再与$p$. 直观地说，这意味着我们观察到的任何具体结果都不会告诉我们更多关于$p$，因为结果不受$p$.

顺便说一句，请注意，在我们知道正面数量之前的概率仅取决于$p$通过$\text{number of heads}$. 事实证明，这相当于$\text{number of heads}$足以$p$.