根据余弦定理，在欧几里得空间中，两点（向量）1 和 2 之间的（欧几里得）平方距离为。平方长度和分别是点 1 和 2 的平方坐标之和（它们是毕达哥拉斯斜边）。数量称为向量 1 和 2 的标量积（= 点积，= 内积）。$d_{12}^2 = h_1^2+h_2^2-2h_1h_2\cos\phi$$h_1^2$$h_2^2$$h_1h_2\cos\phi$

标量积也称为 1 和 2 之间的角度类型相似度，在欧几里德空间中，它是几何上最有效的相似度度量，因为它很容易转换为欧几里德距离，反之亦然（另见此处）。

协方差系数和皮尔逊相关是标量积。如果您将多元数据居中（使原点位于点云的中心），则的归一化是向量的方差（不是上图中的变量 X 和 Y），而是 Pearson；因此，标量积是协方差。[附注。如果您现在正在考虑变量之间的协方差/相关性，而不是数据点，您可能会问是否可以将变量绘制为上图中的向量。是的，可能的，它被称为“主题空间”$h^2$$\cos\phi$$r$$\sigma_1\sigma_2r_{12}$” 表示方式。不管在这个实例中被视为“向量”——数据点或数据特征，余弦定理仍然正确。]

每当我们有一个对角线上为 1 的相似度矩阵- 也就是说，所有都设置为 1，并且我们相信/期望相似度是欧几里得标量积，我们可以将其转换为平方欧几里得距离，如果我们需要它（例如，用于进行需要距离和理想欧几里得距离的聚类或 MDS）。因为，根据上述余弦定理公式，是欧几里得的平方。如果您的分析不需要，您当然可以放弃因子$h$$s$$d^2=2(1-s)$$d$$2$$d^2=1-s$. 作为一个经常遇到的例子，这些公式用于将 Pearson转换为欧几里得距离。（另请参阅这个和那里的整个线程，质疑一些将转换为距离的公式。）$r$$r$

就在上面我说如果“我们相信/期望……”。如果矩阵没有负特征值，您可以检查并确保相似性矩阵（手头上的一个特定矩阵）在几何上是“OK”标量积矩阵。但是，如果它具有这些，则意味着不是真正的标量积，因为在或中存在某种程度的几何不收敛，“隐藏”在矩阵后面。在将其转换为欧几里德距离之前，有一些方法可以尝试“修复”这样的矩阵。$s$$s$$h$$d$