为了$\ell^2$-归一化向量$\mathbf{x}, \mathbf{y}$,

$$||\mathbf{x}||_2 = ||\mathbf{y}||_2 = 1,$$ 我们有平方欧几里得距离与余弦距离成正比， $$\begin{align} ||\mathbf{x} - \mathbf{y}||_2^2 &= (\mathbf{x} - \mathbf{y})^\top (\mathbf{x} - \mathbf{y}) \\ &= \mathbf{x}^\top \mathbf{x} - 2 \mathbf{x}^\top \mathbf{y} + \mathbf{y}^\top \mathbf{y} \\ &= 2 - 2\mathbf{x}^\top \mathbf{y} \\ &= 2 - 2 \cos\angle(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \end{align}$$ 也就是说，即使您对数据进行了归一化并且您的算法对于距离的缩放不变，您仍然会因为平方而期望差异。

标准余弦相似度在欧几里得空间中定义如下，假设列向量$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$：

$$\cos(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\|\mathbf{u}\| \cdot \|\mathbf{v}\|} = \frac{\mathbf{u}^T\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\| \cdot \|\mathbf{v}\|} \in [-1, 1].$$ 如果您的向量被归一化为单位范数（在 l2 中），这将减少为标准内积。在文本挖掘中，这种标准化并非闻所未闻，但我不认为这是标准。