将使用带有玩具数据的 2D 演示来解释使用和不使用正则化的逻辑回归的完美分离发生了什么。实验从重叠的数据集开始，我们逐渐将两个类分开。目标函数轮廓和最优值（逻辑损失）将显示在右侧子图中。数据和线性决策边界绘制在左子图中。

首先，我们尝试不进行正则化的逻辑回归。

• 正如我们所看到的，随着数据的分离，目标函数（逻辑损失）正在发生巨大变化，而优化值正在向更大的值移动。
• 当我们完成操作后，轮廓就不会是“闭合形状”了。此时，当解移动到右上角时，目标函数总是会变小。

接下来我们尝试使用 L2 正则化的逻辑回归（L1 类似）。

• 在相同的设置下，添加一个非常小的 L2 正则化将改变关于数据分离的目标函数。

• 在这种情况下，我们总是有“凸”的目标。无论数据有多少分离。

代码（我也使用相同的代码来回答这个问题：Regularization methods for Logistic regression）

set.seed(0)  
d=mlbench::mlbench.2dnormals(100, 2, r=1)

x = d$x
y = ifelse(d$classes==1, 1, 0)

logistic_loss <- function(w){
  p    = plogis(x %*% w)
  L    = -y*log(p) - (1-y)*log(1-p)
  LwR2 = sum(L) + lambda*t(w) %*% w
  return(c(LwR2))
}

logistic_loss_gr <- function(w){
  p = plogis(x %*% w)
  v = t(x) %*% (p - y)
  return(c(v) + 2*lambda*w)
}

w_grid_v = seq(-10, 10, 0.1)
w_grid   = expand.grid(w_grid_v, w_grid_v)

lambda = 0
opt1   = optimx::optimx(c(1,1), fn=logistic_loss, gr=logistic_loss_gr, method="BFGS")
z1     = matrix(apply(w_grid,1,logistic_loss), ncol=length(w_grid_v))

lambda = 5
opt2   = optimx::optimx(c(1,1), fn=logistic_loss, method="BFGS")
z2     = matrix(apply(w_grid,1,logistic_loss), ncol=length(w_grid_v))

plot(d, xlim=c(-3,3), ylim=c(-3,3))
abline(0, -opt1$p2/opt1$p1, col='blue',  lwd=2)
abline(0, -opt2$p2/opt2$p1, col='black', lwd=2)
contour(w_grid_v, w_grid_v, z1, col='blue',  lwd=2, nlevels=8)
contour(w_grid_v, w_grid_v, z2, col='black', lwd=2, nlevels=8, add=T)
points(opt1$p1, opt1$p2, col='blue',  pch=19)
points(opt2$p1, opt2$p2, col='black', pch=19)