机器算法验证 - 指数随机变量之和遵循 Gamma，被参数混淆 - 吾爱随笔录 - 问答

指数随机变量之和遵循 Gamma，被参数混淆

机器算法验证分布可能性伽马分布

2022-01-23 11:34:23

我已经学会了指数随机变量的总和遵循 Gamma 分布。

但是在我阅读参数化的任何地方都是不同的。例如，Wiki 描述了这种关系，但没有说明它们的参数实际上是什么意思？形状、比例、速率、1/速率？

指数分布： ~ $x$ $exp(\lambda)$

f (x | λ) = λ e^{- λ x}

$f(x|\lambda )=\lambda {{e}^{-\lambda x}}$

E [x] = 1 / λ

$E[x]=1/ \lambda$

v a r (x) = 1 / λ^{2}

$var(x)=1/{{\lambda}^2}$

伽玛分布： $\Gamma(\text{shape}=\alpha, \text{scale}=\beta)$

f (x | α, β) = \frac{1}{β^{α}} \frac{1}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- \frac{x}{β}}

$f(x|\alpha ,\beta )=\frac{1}{{{\beta }^{\alpha }}}\frac{1}{\Gamma (\alpha )}{{x}^{\alpha -1}}{{e}^{-\frac{x}{\beta }}}$

E [x] = α β

$E[x]=\alpha\beta$

v a r [x] = α β^{2}

$var[x]=\alpha{\beta}^{2}$

在此设置中，是什么？正确的参数化是什么？将其扩展到卡方如何？ $\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}}$

3个回答

独立 Gamma 随机变量的总和是一个 Gamma 随机变量。只要所有随机变量都具有相同的第二个参数，第二个参数的含义（比例或比例倒数）并不重要。这个想法很容易扩展到随机变量，这是 Gamma 随机变量的一个特例。 $n$ $\sim \Gamma(t_i, \lambda)$ $\sim \Gamma\left(\sum_i t_i, \lambda\right)$ $n$ $\chi^2$

总数是 $n$ 具有规模的独立同分布指数分布 $\theta$ （速度 $\theta^{-1}$ ) 呈伽马分布的形状 $n$ 和规模 $\theta$ （速度 $\theta^{-1}$ ）。

伽马分布由指数分布构成，指数分布是伽马分布的基础。那么如果 $f(x|\lambda)=\lambda e^{−\lambda x}$ 我们有 $\sum_n x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$ , 只要所有 $X_i$ 是独立的。

f (x | α, β) = \frac{β^{α}}{Γ (α)} \cdot x^{α - 1} \cdot e^{- x β}

$f(x|\alpha,\beta)=\frac{\beta^α}{\Gamma(\alpha)} \cdot x^{\alpha−1} \cdot e^{−x\beta}$

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