机器算法验证 - 是否分布日志( 1 +X− 2) / 2 πlog⁡(1+x−2)/2π有名字吗？ - 吾爱随笔录

是否分布日志( 1 +X− 2) / 2 πlog⁡(1+x−2)/2π有名字吗？

机器算法验证分布可能性

2022-02-09 12:39:54

前几天我跑过这个密度。有人给它起过名字吗？

$f(x) = \log(1 + x^{-2}) / 2\pi$

密度在原点是无限的，它也有肥尾。我看到它在许多观察值预计很小的情况下用作先验分布，尽管预计值也很大。

2个回答

事实上，即使是最初的时刻也不存在。此分布的 CDF 由下式给出

F (x) = 1 / 2 + (\arctan (x) - x \log (\sin (\arctan (x)))) / π

$F(x) = 1/2 + \left(\arctan(x) - x \log(\sin(\arctan(x)))\right)/\pi$

为了 $x \ge 0$ 并且，通过对称性， $F(x) = 1 - F(|x|)$ 为了 $x \lt 0$ . 这和任何明显的变换对我来说都不熟悉。（我们可以根据初等函数获得 CDF 的封闭形式这一事实已经严重限制了可能性，但是这种封闭形式有点模糊和复杂的性质很快排除了标准分布或幂/对数/指数/三角变换反正切当然是柯西的 CDF（学生 $t_1$ ) 分布，将此 CDF 显示为柯西分布的（基本上）扰动版本，显示为红色破折号。）

在此处输入图像描述

也许不是。

我在这个相当广泛的分布列表中找不到它：

Leemis 和 McQuestion 2008 年单变量分布关系。美国统计学家62(1) 45:53

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