机器算法验证 - 哪个分布的最大均匀分布？ - 吾爱随笔录 - 问答

哪个分布的最大均匀分布？

机器算法验证分布极值

2022-01-27 13:00:24

让我们考虑相同分布iid 样本的最大值： $Y_n$ $n$ $X_i$

$Y_n = max(X_1, X_2, ..., X_n)$

我们是否知道的一些常见分布，使得是均匀分布？ $X$ $Y$ $U(a,b)$

我想我们总是可以“构造一个分布”强制执行这个条件，但我只是想知道一个著名的分布是否满足这个条件。 $X$ $Y$

2个回答

令为的 CDF 。我们知道的 CDF为 $F$ $X_i$ $Y$

G (y) = P (Y \leq y) = P (all X_{i} \leq y) = \prod_{i} P (X_{i} \leq y) = F (y)^{n}

$G(y) = P(Y\leq y)= P(\textrm{all } X_i\leq y)= \prod_i P(X_i\leq y) = F(y)^n$

现在，采用 ,不会失去一般性，因为我们可以将的分布移动并缩放到，然后对的分布进行平移和缩放。 $a=0$ $b=1$ $X$ $[0,\,1]$ $Y$

那么必须是什么才能得到？我们需要，所以，这是一个 Beta(1/n,1) 密度。 $F$ $G(y) =y$ $F(x)= x^{1/n}I_{[0,1]}$ $f(x)=\frac{1}{n}x^{1/n-1}I_{[0,1]}$

让我们检查

> r<-replicate(100000, max(rbeta(4,1/4,1)))
> hist(r)

$F_{X_{(n)}}(x)=[F_X(x)]^n$ ，因此对于标准制服，您需要为（和在该区间的左侧和 )，因此在单位区间上，在。 $F_X(x)=x^{1/n}$ $0<x<1$ $0$ $1$ $f_X(x)=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$ $0$

这是 Beta 版的一个特例。

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