我建议使用“第二类 Beta 分布”（简称 Beta ₂）来获得信息量较少的分布，如果您有强烈的先验信念，请使用共轭逆伽马分布。我这么说的原因是共轭先验是不鲁棒的，如果先验和数据冲突，先验对后验分布有无限的影响。这种行为就是我所说的“教条主义”，而不是通过温和的先验信息来证明。

决定鲁棒性的属性是先验和似然的尾部行为。一篇很好的文章概述了技术细节在这里。例如，可以选择一个可能性（比如 t 分布），以便作为观察$y_i \rightarrow \infty$（即变得任意大）它从位置参数的分析中被丢弃（与您直观地对这种观察进行的方式非常相似）。“丢弃”率取决于分布尾部的重量。

可以在此处找到一些显示分层建模上下文中的应用程序的幻灯片（显示 Beta ₂分布的数学形式），并在此处找到一篇论文。

如果您不在分层建模上下文中，那么我建议比较后验（或您正在创建的任何结果），但使用Jeffreys 先验作为比例参数，该参数由下式给出$p(\sigma)\propto\frac{1}{\sigma}$. 这可以创建为 Beta ₂密度的限制，因为它的两个参数都收敛到零。对于近似值，您可以使用较小的值。但是，如果可能的话，我会尝试分析解决方案（如果不是完整的分析解决方案，请尽可能地获得分析解决方案），因为您不仅可以节省一些计算时间，而且可以也可能更好地理解模型中发生的事情。

另一种选择是以约束的形式指定您的先验信息（平均值等于$M$, 方差等于$V$, IQR 等于$IQR$等，其值为$M,V,IQR$由您自己指定），然后使用关于 Jeffreys 的“不变测度”的最大熵分布（搜索 Edwin Jaynes 或 Larry Bretthorst 的任何作品，以很好地解释最大熵是什么以及它不是什么）$m(\sigma)=\frac{1}{\sigma}$.

MaxEnt是“劳斯莱斯”版本，而Beta ₂更像是“轿车”版本。这样做的原因是 MaxEnt 发行版“假设最少”受到您放入其中的约束（例如，没有约束意味着您只是先得到 Jeffreys），而 Beta ₂发行版可能包含一些“隐藏”的特性在您的特定情况下可能需要也可能不需要（例如，如果先前的信息比数据更可靠，那么 Beta ₂是不好的）。

MaxEnt 分布的另一个不错的特性是，如果数据生成机制中没有未指定的约束，那么 MaxEnt 分布绝对是您将看到的最有可能的分布（我们所说的几率超过数十亿和数万亿比一）。因此，如果您看到的分布不是 MaxEnt 分布，则可能存在您未指定在真实过程上运行的其他约束，并且观察到的值可以提供关于该约束可能是什么的线索。

Daniels 的以下论文比较了各种收缩先验的方差。这些是适当的先验，但我不确定有多少可以被称为非信息性的。但是，他还提供了一个非信息性先验列表（并非全部正确）。下面是参考。

MJ Daniels (1999)，分层模型方差的先验，加拿大 J. Stat。, 卷。27，没有。3，第 567-578 页。

先验

1. 平： $K$（持续的）
2. 位置规模：$\tau^{-2}$
3. 右不变 Haar：$\tau^{-1}$
4. 杰弗里斯：$1/(\sigma^2 + \tau^2)$
5. 正确的杰弗里斯：$\sigma / (2(\sigma^2 + \tau^2)^{3/2})$
6. 均匀收缩：$\sigma^2 / (\sigma^2 + \tau^2)$
7. 杜穆切尔：$\sigma/(2\tau(\sigma+\tau)^2)$

另一篇相关的最新论文如下。

A. Gelman (2006)，层次模型中方差参数的先验分布，贝叶斯分析，第一卷。1，没有。3，第 515-533 页。

（问题是陈旧的，但问题不是）

就个人而言，我认为你的直觉是有道理的。也就是说，如果您不需要共轭的数学整洁性，那么无论您将用于位置参数的分布如何，您都应该对比例参数的对数使用相同的分布。所以，你的意思是：使用普通先验的等价物。

你真的会使用普通的先验作为位置参数吗？大多数人会说，除非你使差异很大，否则这可能有点“太教条”，原因在此处的其他答案中解释（无限影响）。如果您正在做经验贝叶斯，则例外。也就是说，使用您的数据来估计您的先验参数。

如果您想“提供信息量较弱”，您可能会选择尾部较粗的分布；明显的候选者是 t 分布。Gelman 的最新建议似乎是在 df 为 3-7 的情况下使用 at。（请注意，该链接还支持我的建议，即您希望对比例日志执行与位置相同的操作）因此，您可以使用 log-student-t 而不是对数正态。要在 stan 中完成此操作，您可能会执行以下操作：

real log_sigma_y; //declare at the top of your model block
//...some more code for your model
log_sigma_y <- log(sigma_y); increment_log_prob(-log_sigma_y);
log_sigma_y ~ student_t(3,1,3); //This is a 'weakly informative prior'.

但是，我认为如果上面的代码对您来说太复杂了，您可能会使用对数正态先验，但有两个警告。首先，使先验的方差比您对“不确定”的粗略猜测大几倍；你想要一个信息量少的先验，而不是一个信息量大的先验。其次，一旦你拟合了你的模型，检查参数的后中位数，并确保它的对数离对数正态的中心不太远。“不太远”可能意味着：小于两个标准差，最好不超过一个标准差。

对于分层模型尺度参数，我大多最终使用Andrew Gelman 的建议，即使用折叠的非中心 t 分布。这对我来说非常有效。