机器算法验证 - 观测级别的马氏距离分布 - 吾爱随笔录

如果我有一个多元正态 iid 样本，并定义的马氏距离 [平方]，使用矩阵进行加权），的分布是什么（马氏距离到样本均值使用样本协方差矩阵 )？ $X_1, \ldots, X_n \sim N_p(\mu,\Sigma)$

d_{i}^{2} (b, A) = (X_{i} - b)^{'} A^{- 1} (X_{i} - b)

$d_i^2(b,A) = (X_i - b)' A^{-1} (X_i - b)$

a

$a$

A

$A$

d_{i}^{2} (\bar{X}, S)

$d_i^2(\bar X,S)$

\bar{X}

$\bar X$

S

$S$

我正在看一篇声称它是的论文，但这显然是错误的：使用（未知）总体平均向量分布和协方差矩阵。当插入样本类似物时，应该得到一个 Hotelling分布，或一个缩放的分布，或类似的东西，但不是。我在Muirhead (2005)、Anderson (2003)和Mardia, Kent and Bibby (1979, 2003)中都找不到确切的结果 $\chi^2_p$ $\chi^2_p$ $d_i^2(\mu,\Sigma)$ $T^{\ 2}$ $F(\cdot)$ $\chi^2_p$ . 显然，这些人并没有为异常值诊断而烦恼，因为多元正态分布是完美的，并且每次收集多元数据时都很容易获得：-/。

事情可能比这更复杂。Hotelling分布结果是基于假设向量部分和矩阵部分之间的独立性；这种独立性适用于和，但不再适用于和。 $T^{\ 2}$ $\bar X$ $S$ $X_i$ $S$