机器算法验证 - 这个发行版有名字吗？F( x ) ∝ exp( - | x - μ|p/ β)f(x)∝exp⁡(−|x−μ|p/β) - 吾爱随笔录

这个发行版有名字吗？F( x ) ∝ exp( - | x - μ|p/ β)f(x)∝exp⁡(−|x−μ|p/β)

机器算法验证分布正态分布术语拉普拉斯分布分布识别

2022-01-27 18:10:50

今天我突然想到，分布可以看作是高斯和拉普拉斯之间的折衷分布，对于和这样的发行版有名字吗？它的归一化常数是否有表达式？微积分难倒我，因为我什至不知道如何开始求解积分中的

f (x) \propto \exp (- \frac{| x - μ |^{p}}{β})

$f(x)\propto\exp\left(-\frac{|x-\mu|^p}{\beta}\right)$

x \in R, p \in [1, 2]

$x\in\mathbb{R}, p\in[1,2]$

β > 0.

$\beta>0.$

C

$C$

1 = C \cdot \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- \frac{| x - μ |^{p}}{β}) d x

$1=C\cdot \int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{|x-\mu|^p}{\beta}\right) dx$

3个回答

简答

您描述的 pdf 最恰当地称为 Subbotin 分布......参见 Subbotin 1923 年的论文，它具有完全相同的功能形式，例如。 $Y = X-\mu$

Subbotin, MT (1923), 关于误差频率定律, Matematicheskii Sbornik, 31, 296-301。

谁在他的等式 5 中输入 pdf，形式为：

f (y) = K \exp [- {(\frac{| y |}{σ})}^{p}]

$f(y) = K \exp\left[-\left(\frac{|y|}{\sigma}\right)^p\right]$

积分常数：，根据 Xian 的推导，其中 $K = \large\frac{p}{2 \sigma \Gamma \left(\frac{1}{p}\right)}$ $\beta = \sigma^p$

更长的答案

不幸的是，维基百科并不总是“最新的”或准确的，或者有时只是落后于时代 80 年。在 Subbotin (1923) 之后，该分布在文献中得到了广泛的应用，包括：

Diananda, PH (1949)，关于最大似然估计的一些特性的注释，剑桥哲学学会会刊，45, 536-544。
Turner, ME (1960)，关于启发式估计方法，生物统计学，16(2)，299-301。
Zeckhauser, R. 和 Thompson, M. (1970)，具有非正态误差项的线性回归，经济与统计评论，52, 280-286。
McDonald, JB 和 Newey, WK (1988)，通过广义 t 分布对回归模型进行部分自适应估计，计量经济学理论，4, 428-457。
Johnson, NL, Kotz, S. 和 Balakrishnan, N. (1995)，连续单变量分布，第 2 卷，第 2 版，Wiley: New York (1995, p.422)
Mineo, AM 和 Ruggieri, M. (2005)，指数功率分布的软件工具：normalp 包，统计软件杂志，12(4), 1-21。

...所有在 Wiki 上引用的论文之前。除了已经过时 80 年之外，Wiki 上使用的名称“广义正态”似乎也不合适，因为有无数分布是正态的概括，而且无论如何，这个名称对于文献来说都是模棱两可的。它也没有承认原作者。

出于显而易见的原因，您可以去掉 μ 和 β，所以剩下的就是因此

\int_{0}^{\infty} \exp {- x^{p}} d x \overset{y = x^{p}}{=} \int_{0}^{\infty} \exp {- y} | \frac{d x}{d y} | d y \overset{x = y^{1 / p}}{=} \int_{0}^{\infty} \exp {- y} \frac{1}{p} y^{\frac{1}{p} - 1} d y = Γ (1 / p) \frac{1}{p}

$\int_0^\infty \exp\{−x^p\}\text{d}x\stackrel{y=x^p}{=}\int_0^\infty \exp\{−y\}\left|\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y}\right|\text{d}y\stackrel{x=y^{1/p}}{=}\int_0^\infty \exp\{−y\}\frac{1}{p}y^{\frac{1}{p}-1}\text{d}y=\Gamma(1/p)\frac{1}{p}$

\int_{- \infty}^{\infty} \exp {- β^{- 1} | x - μ |^{p}} d x = \frac{2 Γ (1 / p)}{p} β^{1 / p}

$\int_{-\infty}^\infty \exp\{−\beta^{-1}|x-\mu|^p\}\text{d}x=\dfrac{2\Gamma(1/p)}{p}\beta^{1/p}$

根据维基百科，这被称为广义正态分布（文章中的版本 1），并且限制 $p\in [1,2]$ 不是必需的，但任何正值都可以。

维基百科中给出的参考是 Saralees Nadarajah (2005) A generalized normal distribution , Journal of Applied Statistics, 32:7, 685-694, DOI: 10.1080/02664760500079464。本文提到归一化常数是通过“简单积分”找到的 - 我假设遵循西安的回答。

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