两本关于该主题的规范书籍，带有评论，然后是其他两本参考资料：

• 微分几何与统计，MK Murray，JW Rice

  自从 Rao 于 1945 年引入有关一系列概率分布的 Fisher 信息度量以来，统计学家一直对将微分几何应用于统计产生兴趣。在过去的几十年中，随着大量研究人员的工作，这种兴趣迅速增加。到目前为止，阻碍这些思想传播到更广泛的统计学家社区的一个障碍是缺乏合适的文本，以统计学家可以理解的方式介绍现代无坐标的微分几何方法。本书旨在填补这一空白。作者为本书带来了微分几何及其在统计学中的应用方面的丰富研究经验。本书从研究最简单的微分流形开始——仿射空间及其与指数族的相关性，然后进入一般理论、Fisher 信息度量、Amari 连接和渐近线。它在矢量丛、主丛和射流理论以及它们在弦理论中的应用达到高潮——这是目前在统计和微分几何研究的前沿领域。

• 信息几何方法，S.-I。Amari, H. Nagaoka

  信息几何为数学科学提供了一个新的分析框架。它源于对概率分布流形上自然微分几何结构的研究，该结构由 Fisher 信息定义的黎曼度量和称为仿射连接的单参数族组成$\alpha$-连接。之间的二元性$\alpha$-连接和$(-\alpha)$-连接与度量一起在这个几何中起着至关重要的作用。这种从概率分布的流形中出现的对偶性无处不在，出现在可能与概率论没有明确关系的各种问题中。通过二元性，可以以统一的视角分析各种基本问题。本书的前半部分致力于全面介绍信息几何的数学基础，包括微分几何的预备知识、流形或概率分布的几何，以及对偶仿射连接的一般理论。正文的后半部分概述了许多应用领域，例如统计学、线性系统、信息论、量子力学、凸分析、神经网络、和仿射微分几何。本书可作为高年级本科生和研究生主题课程的合适教材。

• 统计推断中的微分几何，S.-I。Amari、OE Barndorff-Nielsen、RE Kass、SL Lauritzen 和 CR Rao，IMS Lecture Notes Monogr。爵士。第 10 卷，1987 年，240 页。

• 微分几何在统计理论中的作用，OE Barndorff-Nielsen，DR Cox 和 N. Reid，国际统计评论 / Revue Internationale de Statistique，卷。54，第 1 期（1986 年 4 月），第 83-96 页

黎曼几何用于研究随机场（随机过程的推广），其中过程不必是静止的。下面给出了我正在研究的参考资料，并附有两条评论。在海洋学、天体物理学和脑成像中有应用。

随机场和几何，阿德勒，RJ，泰勒，乔纳森 E。

http://www.springer.com/us/book/9780387481128#otherversion=9781441923691

评论：

“为高斯场的上界分布建立良好的界限$f$, 即对于数量$\Bbb{P}\{\sup_{t\in M}f(t)\ge u\}$，长期以来一直是一个既困难又有趣的研究课题。正如作者在前言中所述，全面介绍这个问题是本书的主要目标。作者在平滑高斯场的背景下发展了他们的结果，其中参数空间$M$是黎曼分层流形，它们的方法是几何性质的。这本书分为三个部分。第一部分致力于介绍高斯过程和场的必要工具。第二部分简明扼要地揭示了积分几何和微分几何所需的先决条件。最后，在第三部分，本书的核心，一个偏移集的欧拉特征函数的期望公式及其对场最大值分布的近似被精确地建立了。这本书以一种非正式的风格写成，读起来非常愉快。每一章都以介绍要解决的问题开始，贯穿全文的脚注是不可或缺的补充，并且多次作为历史参考。

“这本书介绍了偏移概率的现代理论和偏移集的几何......定义在流形上的随机场。......这本书对学生来说是可以理解的......具有良好的分析背景......这本书的跨学科性质，所提出的数学理论的美丽和深度使其成为每个数学图书馆不可或缺的一部分，也是所有对高斯过程、随机场及其统计应用感兴趣的概率学家的书架。” （Ilya S. Molchanov，Zentralblatt MATH，第 1149 卷，2008 年）

以基本方式使用微分几何的统计/应用数学的一个领域（与许多其他数学领域一起！）是模式理论。你可以看看 Ulf Grenander 的书：https ://www.amazon.com/Pattern-Theory-Representation-Inference-European/dp/0199297061/ref=asap_bc?ie=UTF8 或者更容易理解的文本David Mumford（田径奖牌得主）： https ://www.amazon.com/Pattern-Theory-Stochastic-Real-World-Mathematics/dp/1568815794/ref=pd_bxgy_14_img_2?_encoding=UTF8&pd_rd_i=1568815794&pd_rd_r=Q40ESHME10ZPC7XYBcavt59&pd_rd_rd_w =LIesY&psc=1&refRID=Q40ESHME10ZPC7XYVT59

摘自最后一段文字的前言：

Ulf Grenander 创造了“模式理论”一词，以区分他分析世界中模式结构的方法与“模式识别”。在本书中，我们在相当广泛的意义上使用它来包括用于分析世界产生的所有“信号”的统计方法，无论它们是图像、声音、书面文本、DNA 或蛋白质串、神经元中的脉冲序列，还是价格或天气的时间序列；所有这些的例子要么出现在 Grenander 的著作 Elements of Pattern Theory [94] 中，要么出现在我们的同事、合作者和学生在模式理论方面的工作中。

使用微分几何的一个例子是面部模型。

试图回答@whuber 的问题（在评论中），请查看 Grenander 书的第 16 章，标题为“计算解剖学”。流形用于表示人体解剖结构的各个部分（如壁炉），微分形态用于表示这些解剖流形的变化，可以进行比较、生长建模、某些疾病的作用建模。这个想法可以追溯到 1917 年达西·汤普森 (D'Arcy Thompson) 的巨著“关于成长和形式”！

Grenander 继续引用那篇论文：

在形态学的很大一部分中，我们的基本任务在于比较相关形式，而不是每个形式的精确定义；复杂图形的变形可能是一种易于理解的现象，尽管图形本身可能不得不不加以分析和定义。这种比较过程，即在一种形式中识别出另一种形式的明确排列或变形，完全没有对原始“类型”或比较标准的准确和充分理解，属于数学的直接领域，并在数学中找到解决方案。初级使用某种方法的数学家。这种方法是坐标法，其基础是变换理论。

这种想法最著名的例子是某个孩子什么时候失踪了，比如三年前，有人发布了一些他的脸的照片，经过变换（通常使用样条曲线），变成了他今天的样子。