机器算法验证 - 累积风险函数的直觉（生存分析） - 吾爱随笔录

累积风险函数的直觉（生存分析）

机器算法验证可能性生存冒险

2022-02-13 19:40:25

我试图对精算科学中的每个主要功能（特别是 Cox 比例风险模型）有直觉。这是我到目前为止所拥有的：

$f(x)$ ：从开始时间开始，你会死的概率分布。
$F(x)$ : 只是累积分布。当时 $T$ , 百分之几的人口将死亡？
$S(x)$ ： $1-F(x)$ . 当时 $T$ , 百分之几的人口会活着？
$h(x)$ : 危险函数。在给定的时间 $T$ , 在还活着的人中，这可以用来估计有多少人会在下一个时间间隔内死亡，或者如果间隔->0，则“瞬时”死亡概率。
$H(x)$ : 累积危害。不知道。

组合危险值背后的想法是什么，尤其是当它们是连续的时？如果我们使用一个离散示例，其中包含四个季节的死亡率，则风险函数如下：

从春天开始，每个人都还活着，20%的人会死去
现在在夏天，剩下的人中，50% 将死去
现在在秋天，剩下的人中，75% 将死去
最后一季是冬天。剩下的人，100%会死

那么累积危害是20%、70%、145%、245%?? 这是什么意思，为什么有用？

4个回答

Mario Cleves 的“An Introduction to Survival Analysis Using Stata”一书（第 2 版）在该主题上有一个很好的章节。

您可以在google 图书上找到章节，p。13-15。但我建议阅读整个第 2 章。

这是简短的形式：

“它衡量到时间 t 为止累积的风险总量”（第 8 页）
计数数据解释：“它给出了我们期望（数学上）在给定时期内观察故障 [或其他事件] 的次数，如果只有故障事件是可重复的”（第 13 页）

像你这样把死亡的比例结合起来不会给你带来累积的危险。连续时间的危险率是在很短的时间间隔内将发生事件的条件概率：

h (t) = lim_{Δ t \to 0} \frac{P (t < T \leq t + Δ t | T > t)}{Δ t}

$h(t) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac {P(t<T \le t + \Delta t | T >t)} {\Delta t}$

累积危害是在年龄/时间上整合（瞬时）危害率。这就像对概率求和，但由于非常小，这些概率也是很小的数字（例如，在 30 岁左右时死亡的危险率可能在 0.004 左右）。之前没有经历过事件，因此对于总体而言，它的总和可能超过 1。 $\Delta t$ $t$

您可以查看一些人类死亡率生命表，尽管这是一个离散时间公式，并尝试累积。 $m_x$

如果您使用 R，这里有一个小例子，可以根据每个 1 年年龄间隔的死亡人数来近似这些函数：

dx <-  c(3184L, 268L, 145L, 81L, 64L, 81L, 101L, 50L, 72L, 76L, 50L, 
         62L, 65L, 95L, 86L, 120L, 86L, 110L, 144L, 147L, 206L, 244L, 
         175L, 227L, 182L, 227L, 205L, 196L, 202L, 154L, 218L, 279L, 193L, 
         223L, 227L, 300L, 226L, 256L, 259L, 282L, 303L, 373L, 412L, 297L, 
         436L, 402L, 356L, 485L, 495L, 597L, 645L, 535L, 646L, 851L, 689L, 
         823L, 927L, 878L, 1036L, 1070L, 971L, 1225L, 1298L, 1539L, 1544L, 
         1673L, 1700L, 1909L, 2253L, 2388L, 2578L, 2353L, 2824L, 2909L, 
         2994L, 2970L, 2929L, 3401L, 3267L, 3411L, 3532L, 3090L, 3163L, 
         3060L, 2870L, 2650L, 2405L, 2143L, 1872L, 1601L, 1340L, 1095L, 
         872L, 677L, 512L, 376L, 268L, 186L, 125L, 81L, 51L, 31L, 18L, 
         11L, 6L, 3L, 2L)

x <- 0:(length(dx)-1) # age vector

plot((dx/sum(dx))/(1-cumsum(dx/sum(dx))), t="l", xlab="age", ylab="h(t)", 
     main="h(t)", log="y")
plot(cumsum((dx/sum(dx))/(1-cumsum(dx/sum(dx)))), t="l", xlab="age", ylab="H(t)", 
     main="H(t)")

希望这可以帮助。

我_^猜测它是值得注意的，因为它在诊断图中使用：

(1) 在 Cox 比例风险模型中，其中和分别是系数和协变量向量，&是基线风险函数；& 所以。如果您绘制估计对，则不同的协变量模式遵循平行曲线，前提是比例风险假设是正确的。 $h(x)=\mathrm{e}^{\beta^\mathrm{T} z}h_0(x)$ $\beta$ $z$ $h_0(x)$ $\log H(x)=\beta^\mathrm{T} z + H_0(x)$ $\log \hat{H}(x)$ $x$

(2) 在 Weibull 模型中，其中 &分别是比例和形状参数；& 所以。如果你绘制估计对和截距的直线，只要 Weibull 假设正确。当然，接近 1 的斜率表明指数模型可能适合。 $h(x)=\frac{\alpha}{\theta}\left(\frac{x}{\theta}\right)^{\alpha-1}$ $\theta$ $\alpha$ $\log H(x) = \alpha \log x - \alpha \log \theta$ $\log \hat{H}(x)$ $\log x$ $\hat{\alpha}$ $-\hat{\alpha}\log\hat{\theta}$

的直观解释是如果个人在每次死亡后复活（不将时间重置为零），则个人之前的预期死亡人数。 $H(x)$ $x$

在解释@Scortchi 所说的内容时，我会强调累积风险函数没有很好的解释，因此我不会尝试将其用作解释结果的一种方式；告诉非统计研究人员累积危害不同，很可能会导致“嗯-嗯”的回答，然后他们将永远不会再询问该主题，而且方式不好。

然而，累积风险函数在数学上非常有用，例如连接风险函数和生存函数的一般方法。因此，了解什么是累积风险以及如何在各种统计方法中使用它是很重要的。但总的来说，我认为从累积风险的角度考虑真实数据并不是特别有用。

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