一个样本包括$n$来自相同且独立分布的随机变量的实现是遍历的。在这种情况下，“样本矩”是共同分布的理论矩的一致估计量，如果理论矩存在并且是有限的。

这意味着

$$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) + e_k(n), \;\;\; e_k(n) \xrightarrow{p} 0 \tag{1}$$

因此，通过将理论矩与相应的样本矩相等，我们有

$$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) \Rightarrow \hat \theta(n) = \mu_k^{-1}(\hat \mu_k(n)) = \mu_k^{-1}[\mu_k(\theta) + e_k(n)]$$

所以 （$\mu_k$不依赖于$n$)

$$\text{plim} \hat \theta(n) = \text{plim}\big[\mu_k^{-1}(\mu_k(\theta) + e_k)\big] = \mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + \text{plim}e_k(n)\big)$$

$$=\mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + 0\big) = \mu_k^{-1}\mu_k(\theta) = \theta$$

所以我们这样做是因为我们获得了未知参数的一致估计量。

计量经济学家将此称为“类比原理”。您将总体均值计算为相对于总体分布的期望值；您将估计量计算为相对于样本分布的期望值，结果是样本均值。你有统一的表达方式

$$T(F) = \int t(x) \, {\rm d}F(x)$$ 您将人口插入其中$F(x)$， 说$F(x) = \int_{\infty}^x \frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\bigl[ - \frac{(u-\mu)^2}{2\sigma^2} \bigr] \, {\rm d}u$或样品$F_n(x) = \frac 1n \sum_{i=1}^n 1\{ x_i \le x \}$， 以便${\rm d}F_n(x)$是一堆 delta 函数，并且 (Lebesgue) 积分关于${\rm d}F_n(x)$是样本总和$\frac1n \sum_{i=1}^n t(x_i)$. 如果你的功能$T(\cdot)$是（弱）可微的，并且$F_n(x)$在适当的意义上收敛到$F(x)$，那么很容易确定估计是一致的，尽管当然需要更多的 hoopla 来获得渐近正态性。

我可能是错的，但我认为它的方式如下：

假设您有样品$X_1, X_2, \dotsc, X_n$. 然后，矩的方法建议我们应该比较$m-th$样本时刻$m$人口时刻

$$(X_1 + X_2 + \dotsm + X_n) / n = μ$$

在这里，我们对所有样本进行平均，这似乎是对总体均值的一个很好的估计

$$(X_1^2 + X_2^2 + \dotsm + X_n^2) / n = σ^2$$

在这里，我们对所有样本方差进行平均，这似乎也是对总体方差的一个很好的估计

等等，

这就是我认为对矩方法如何工作的一个很好的解释！