X的低秩近似分解为矩阵平方根为其中的特征分解为，从而减少了特征的数量，可以用基于 rank-r 近似表示为。注意下标$\hat{X}$$X$$G=U_{r}\lambda_{r}^\frac{1}{2}$$X$$U\lambda U^T$$G$$\hat{X}=GG^T$$r$ 表示近似中使用的特征向量和特征值的数量。因此，它确实减少了表示数据的特征数量。在某些示例中，在正交性、非负性（非负矩阵分解）等特殊约束下，低秩近似被认为是原始数据的基于或潜在变量（字典）的扩展。

低秩逼近点不一定只是为了进行降维。

这个想法是，基于领域知识，矩阵的数据/条目将以某种方式使矩阵低秩。但这是在条目不受噪声、损坏、缺失值等影响的理想情况下。观察到的矩阵通常具有更高的秩。

因此，低秩近似是一种恢复“原始”（在被噪声等弄乱之前的“理想”矩阵）低秩矩阵的方法，即找到最一致的矩阵（就观察到的条目而言）与当前矩阵，并且是低秩的，因此它可以用作理想矩阵的近似值。恢复了这个矩阵后，我们可以用它来代替嘈杂的版本，并希望得到更好的结果。

到目前为止没有提到的另外两个原因：

1. 减少共线性。我相信这些技术中的大多数都消除了共线性，这有助于后续处理。

2. 我们的想象力是低级的，因此它有助于探索低级关系。

一旦确定了近似值的等级（例如），您将只保留基向量以供将来使用（例如，作为回归或分类问题中的预测器），而不是原始。$r<m$$r$$m$