机器算法验证 - 逆 Wishart 分布矩阵的对角线的边际分布 - 吾爱随笔录

逆 Wishart 分布矩阵的对角线的边际分布

机器算法验证分布可能性密度函数

2022-02-01 00:26:26

假设。我对对角线元素的边际分布感兴趣。的子矩阵的分布有一些简单的结果（至少有一些在 Wikipedia 中列出）。由此我可以得出对角线上任何单个元素的边际分布都是逆 Gamma。但我一直无法推断出联合分布。 $X\sim \operatorname{InvWishart}(\nu, \Sigma_0)$ $\operatorname{diag}(X) = (x_{11}, \dots, x_{pp})$ $X$

我想也许它可以通过组合推导出来，比如：

p (x_{11} | x_{i i}, i > 1) p (x_{22} | x_{i i}, i > 2) \dots p (x_{(p - 1) (p - 1)} | x_{p p}) p (x_{p p}),

$p(x_{11} | x_{ii}, i\gt 1)p(x_{22}|x_{ii}, i>2)\dots p(x_{(p-1)(p-1)}|x_{pp})p(x_{pp}),$

但我从来没有得到任何地方，并进一步怀疑我错过了一些简单的东西；似乎这个“应该”是众所周知的，但我无法找到/展示它。

1个回答

一般来说，可以将任何协方差矩阵分解为方差相关分解，如这里是单位对角线的相关矩阵。的对角项现在是方差对角矩阵的一部分。由于方差矩阵的非对角线条目为零，因此您正在寻找的联合分布只是每个对角线条目的边际分布的乘积。

Σ = diag (Σ) Q diag (Σ)^{⊤} = D Q D^{⊤}

$\Sigma = \text{diag}(\Sigma) \ Q \ \text{diag}(\Sigma)^\top = D\ Q \ D^\top$

Q

$Q$

q_{i i} = 1

$q_{ii} = 1$

Σ

$\Sigma$

D = [D]_{i i} = [Σ]_{i i}

$D = [D]_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

d_{i j} = 0, i \neq j

$d_{ij} = 0, \ i \ne j$

维协方差矩阵的标准反 Wisart 模型 $d$ $\Sigma$

Σ \sim I W (ν + d - 1, 2 ν Λ), ν > d - 1

$\Sigma \sim \mathcal{IW}(\nu +d -1, 2\nu \Lambda), \quad \nu > d-1$

的对角元素边缘分布为 $\sigma_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

σ_{i i} \sim inv- χ^{2} (ν + d - 1, \frac{λ_{i i}}{ν - d + 1})

$\sigma_{ii} \sim \text{inv-$\chi^2$}\left(\nu+d-1,\frac{\lambda_{ii}}{\nu -d + 1}\right)$

此处给出了分解为不同方差相关分布的协方差矩阵的各种先验的很好参考

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