除其他外，聚类取决于规模。有关此问题的讨论，请参阅（除其他外）您应该何时集中和标准化数据？和PCA 关于协方差或相关性？.

这是以 1:1 的纵横比绘制的数据，显示了两个变量的比例有多大不同：

在其右侧，gap stats 图显示了按簇数 ( ) 统计的统计数据，其中标准误差用垂直线段绘制，的最佳值用垂直蓝色虚线标记。根据帮助，$k$$k$clusGap

默认方法“firstSEmax”查找最小的，使其值与第一个局部最大值的距离不超过 1 个标准误差。$k$$f(k)$

其他方法的行为类似。此标准不会导致任何差距统计数据脱颖而出，从而导致估计。$k=1$

尺度的选择取决于应用程序，但合理的默认起点是数据离散度的度量，例如 MAD 或标准差。该图在重新归零并重新缩放后重复分析，为每个分量和生成单位标准偏差：$a$$b$

K-means 解决方案由左侧数据散点图中的不同符号类型和颜色表示。在集合中，在右边的间隙统计图中明显受到青睐：它是第一个局部最大值和较小的统计数据（即 ) 显着降低。对于这么小的数据集，较大的值可能会过拟合，并且没有一个明显优于。此处显示它们只是为了说明一般方法。 $k=2$$k\in\{1,2,3,4,5\}$$k=2$$k$$k=1$$k$$k=2$

这是R生成这些数字的代码。数据与问题中显示的数据大致匹配。

library(cluster)
xy <- matrix(c(29,391, 31,402, 31,380, 32.5,391, 32.5,360, 33,382, 33,371,
        34,405, 34,400, 34.5,404, 36,343, 36,320, 36,303, 37,344,
        38,358, 38,356, 38,351, 39,318, 40,322, 40, 341), ncol=2, byrow=TRUE)
colnames(xy) <- c("a", "b")
title <- "Raw data"
par(mfrow=c(1,2))
for (i in 1:2) {
  #
  # Estimate optimal cluster count and perform K-means with it.
  #
  gap <- clusGap(xy, kmeans, K.max=10, B=500)
  k <- maxSE(gap$Tab[, "gap"], gap$Tab[, "SE.sim"], method="Tibs2001SEmax")
  fit <- kmeans(xy, k)
  #
  # Plot the results.
  #
  pch <- ifelse(fit$cluster==1,24,16); col <- ifelse(fit$cluster==1,"Red", "Black")
  plot(xy, asp=1, main=title, pch=pch, col=col)
  plot(gap, main=paste("Gap stats,", title))
  abline(v=k, lty=3, lwd=2, col="Blue")
  #
  # Prepare for the next step.
  #
  xy <- apply(xy, 2, scale)
  title <- "Standardized data"
}

我认为您在使用 GAP 统计数据时没有理解任何错误。我相信尽管您被可视化中的数据规模部分误导了。您会看到两个集群，但实际上与x方向相比，方向相当小y。基于此，您会期望两个延长的集群。然而，看起来你的一种变异模式支配了另一种。由于 GAP 统计假设一个具有单个组件 ( ) 的空模型，然后尝试拒绝该模型以使用的替代模型；您观察到的是无法拒绝空值。请注意，无法拒绝零假设并不能使它成为真的$K=1$$K>1$. 如果您想更多地查看技术细节，可以在线获取描述 GAP 统计数据的方法论文件。

我使用高斯混合模型（GMM -均值的泛化，有关此问题的更多信息，请参阅此线程）运行您的模型。在这种情况下，GAP 统计数据也确实表明了单个集群。BIC 还建议使用单一集群。AIC 建议 4 个集群（！），这是我们开始过度拟合的明显迹象。使用的样本不是很大；您有 21 个点，其中一种方差模式优于另一种。拥有两个只有 21 个二维点的二维聚类（即，拟合两个二维均值和两个:) （在的情况下，意味着您的协方差矩阵更加结构化（您不查看协方差），但我不会在这里关注这个问题。）$k$$2 \times 2$$k$

编辑：为了完整起见：@whuber 表明，如果一个集群标准化了他的数据，如果对数据进行标准化，则应用于 GMM 拟合的 GAP 标准也会将作为最佳聚类数。$k$$K=2$

我和原始海报有同样的问题。R 文档目前说 d.power = 1 的原始和默认设置不正确，应替换为 d.power：“默认值 d.power = 1 对应于“历史”R 实现，而 d.power = 2 对应于 Tibshirani 等人提出的建议。这是由 Juan Gonzalez 在 2016 年 2 月发现的。

因此，更改 d.power = 2 为我解决了这个问题。

https://www.rdocumentation.org/packages/cluster/versions/2.0.6/topics/clusGap