我们已经知道之间有界 。相关矩阵应该是半正定的，因此它的主次要应该是非负的$\gamma$$[-1,1]$

因此，

$$\begin{align*} 1(1-\gamma^2)-0.6(0.6-0.8\gamma)+0.8(0.6\gamma-0.8) &\geq 0\\ -\gamma^2+0.96\gamma \geq 0\\ \implies \gamma(\gamma-0.96) \leq 0 \text{ and } -1 \leq \gamma \leq 1 \\ \implies 0 \leq \gamma \leq 0.96 \end{align*}$$

这是一个更简单（也许更直观）的解决方案：

将协方差视为抽象向量空间上的内积。然后，相关矩阵中的条目是对于向量 , ,，其中尖括号表示和之间的角度。$\cos\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j\rangle$$\mathbf{v}_1$$\mathbf{v}_2$$\mathbf{v}_3$$\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j\rangle$$\mathbf{v}_i$$\mathbf{v}_j$

不难想象由. 因此，其余弦 ( ) 的界为。基本三角然后给出。$\langle\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\rangle$$|\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle\pm\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3\rangle|$$\gamma$$\cos\left[\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle\pm\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3\rangle\right]$$\gamma\in[0.6\times 0.8 - 0.6\times 0.8, 0.6\times 0.8 + 0.6\times 0.8] = [0, 0.96]$

编辑：请注意，最后一行中的实际上是 -， 0.6 和 0.8 的第二次出现是巧合。$0.6\times 0.8 \mp 0.6\times 0.8$$\cos\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle\cos\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3\rangle\mp \sin\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3\rangle\sin\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle$$0.6^2+0.8^2=1$

让我们考虑以下凸集

$$\Bigg\{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 : \begin{bmatrix} 1 & x & y\\ x & 1 & z\\ y & z & 1\end{bmatrix} \succeq \mathrm O_3 \Bigg\}$$

这是一个名为维椭圆体的谱面体。这是这个椭圆的描述$3$

和定义的平面相交，我们得到一条线段，其端点以黄色着色$x=0.6$$y=0.8$

椭圆的边界是一个立方表面，定义为

$$\det \begin{bmatrix} 1 & x & y\\ x & 1 & z\\ y & z & 1\end{bmatrix} = 1 + 2 x y z - x^2 - y^2 - z^2 = 0$$

如果和，则上面的三次方程归结为二次方程$x=0.6$$y=0.8$

$$0.96 z - z^2 = z (0.96 - z) = 0$$

因此，椭圆与两个平面的交点是由下式参数化的线段

$$\{ (0.6, 0.8, t) \mid 0 \leq t \leq 0.96 \}$$

这是我在对答案的最初评论中的意思以及我认为@yangle 可能在谈论的内容（尽管我没有关注/检查他们的计算）。

“矩阵应该是半正定的”意味着变量向量是欧几里得空间中的一堆。相关矩阵的情况比协方差矩阵更容易，因为三个向量长度固定为 1。想象 3 个单位向量 XYZ 并记住是角度的余弦。所以，和。的边界可能是什么？该相关性可以采用由围绕 Y 的 Z 定义的任何值（保持角度）：$r$$\cos \alpha=r_{xy}=0.6$$\cos \beta=r_{yz}=0.8$$\cos \gamma=r_{xz}$$r_{yz}=0.8$

当它旋转时，有两个位置是 X 的最终位置，两个位置都是当 Z 落入平面 XY 时。一个位于 X 和 Y 之间，另一个位于 Y 的另一侧。这些由蓝色和红色矢量表示。在这两个位置上，配置 XYZ（相关矩阵）是奇异的。这些是 Z 可以达到 WRT X 的最小和最大角度（因此是相关性）。

选择三角公式来计算平面上角度的和或差，我们有：

$\cos \gamma = r_{xy} r_{yz} \mp \sqrt{(1-r_{xy}^2)(1-r_{yz}^2)} = [0,0.96]$作为边界。

这个几何视图只是对@rightskewed 用代数术语（小数等）表达的另一种（在 3D 情况下是特定且更简单的）视图。