答案是否定的，之间没有这种规律的关系$R^2$和整体回归 p 值，因为$R^2$取决于自变量的方差和残差的方差（与残差的方差成反比）一样多，您可以随意更改自变量的方差。

例如，考虑任何一组多元数据$((x_{i1}, x_{i2}, \ldots, x_{ip}, y_i))$和$i$索引案例并假设第一个自变量的值集，$\{x_{i1}\}$, 有一个唯一的最大值$x^*$与第二高的值相差一个正数$\epsilon$. 应用第一个变量的非线性变换，它发送的所有值都小于$x^* - \epsilon/2$到范围$[0,1]$并发送$x^*$本身具有很大的价值$M \gg 1$. 对于任何此类$M$这可以通过合适的（缩放的）Box-Cox 变换来完成$x \to a((x-x_0)^\lambda - 1)/(\lambda-1))$，例如，所以我们不是在谈论任何奇怪或“病态的”。那么，作为$M$任意变大，$R^2$方法$1$尽可能接近，无论拟合有多差，因为残差的方差将是有界的，而第一个自变量的方差与$M^2$.

相反，您应该使用拟合优度测试（以及其他技术）在您的探索中选择合适的模型：您应该关注拟合的线性和残差的同方差性。并且不要从得到的信任回归中获取任何 p 值：在你完成这个练习之后，它们最终将变得几乎毫无意义，因为它们的解释假设表达自变量的选择不取决于根本就不是因变量，这里的情况很不一样。

这个答案不直接处理中心问题；它只不过是一些额外的信息，对于评论来说太长了。

我指出这一点是因为 econometricstatsquestion 无疑会在某些时候遇到此信息或类似的信息（说明$F$和$R^2$ 是相关的）并想知道这里其他答案中给出的信息是否错误——这并没有错——但我认为弄清楚发生了什么是值得的。

在特定情况下存在关系；如果您持有固定给定模型的观察数和预测变量数，$F$实际上是单调的$R^2$， 自从

（如果将分子和分母除以$R^2$, 并将常数拉入$k$出来，你可以看到$1/F \propto 1/R^2 - 1$如果你持有$N$和$k$持续的。）

因为对于固定的df$F$和 p 值是单调相关的，$R^2$和$p$-value 也是单调相关的。

但是改变模型的几乎任何东西，这种关系在改变的情况下并不成立。

例如，添加一个点会使$(N-k)/(k-1)$更大，删除一个使其更小，但做任何一个都可以增加或减少$R^2$，所以看起来像$F$和$R^2$ 如果您添加或删除数据，不一定要一起移动。添加变量减少$(N-k)/(k-1)$但增加$R^2$（反之亦然），所以再次，$R^2$不一定与$F$当你这样做的时候。

很明显，一旦你比较$R^2$和$p$-跨具有不同特征的模型的值，这种关系不一定成立，正如 whuber 在非线性变换的情况下所证明的那样。

“对于 OLS 回归，更高的 R 平方是否也意味着更高的 P 值？特别是对于单个解释变量 (Y = a + bX + e)”

特别是对于单个解释变量，给定样本量，答案是肯定的。正如 Glen_b 所解释的，两者之间存在直接关系$R^2$和检验统计量（无论是$F$或者$t$）。例如，正如在另一个问题中解释的那样（高$R^2$方正高$p$- 简单线性回归的值）对于具有一个协变量（和一个常数）的简单线性回归，之间的关系$t$和$R^2$是：

$|t| = \sqrt{\frac{R^2}{(1- R^2)}(n -2)}$

所以在这种情况下，一旦你修复$n$，越高$R^2$越高$t$统计量和 p 值越低。

“但也有兴趣知道 n 多个解释变量（Y = a + b1X + ... bnX + e）。”

答案是一样的，但我们现在不是只看一个变量，而是一起看所有变量——因此$F$统计数据，正如 Glen_b 所示。在这里你必须解决这两个问题$n$和参数个数。或者，更准确地说，固定自由度。

上下文 - 我正在对一系列变量执行 OLS 回归，并试图开发最佳的解释函数形式 (...)

好的，所以这实际上是一个不同的问题。如果您正在寻找最好的解释功能形式，您还应该看看交叉验证技术。即使$R^2$是对您的问题感兴趣的数量（通常不是），在样本中找到最佳拟合可能会产生很大的误导性——您通常希望您的发现在样本外泛化，并且适当的交叉验证可以帮助您避免过度拟合你的数据太多了。

在这里我猜你想要“预测”能力（因为你说你想找到“最好的解释功能形式”）。例如，如果你想做因果推理，那么$R^2$如果没有更多关于问题的结构性/实质性知识，或其他预测性能指标将无济于事。