简而言之，95% 的置信区间由 其中是相关性的估计值，是样本量。

$$\tanh(\operatorname{arctanh}r\pm1.96/\sqrt{n-3}),$$ $r$$n$

说明：Fisher 变换是 arctanh。在变换尺度上，估计值的抽样分布近似正态分布，因此通过取变换后估计值并加上和减去其标准误差的 1.96 倍，可以找到 95% 的置信区间。标准误差是（大约）。$1/\sqrt{n-3}$

编辑：上面的 Python 示例：

import math
r = 0.684848
num = 10
stderr = 1.0 / math.sqrt(num - 3)
delta = 1.96 * stderr
lower = math.tanh(math.atanh(r) - delta)
upper = math.tanh(math.atanh(r) + delta)
print "lower %.6f upper %.6f" % (lower, upper)

给

lower 0.097071 upper 0.918445

这与您的示例一致，保留小数点后 4 位。

也许对@chl 的评论有一些额外的评论

Spearman 相关性可以看作是等级的 Pearson 相关性。秩显然不服从正态分布，其结果是 Fisher 变换的方差 ($\zeta$) 不能很好地近似为$(n-3)^{-1}$特别是在大的绝对值$\rho_s$观察次数少。文献中已经提出了各种基于经验的方差调整。它们在 Bonnett 和 Wright (2000) 中进行了比较，包括在Wikipedia中也提到的具有 1.06 因子的那个。Bonnett 和 Wright (2000) 最后推荐了以下方差估计器

$$\sigma^2_\zeta = \frac{1 + r_s^2/2}{n-3}$$

在哪里$r^2_s$是样本 Spearman 相关性和$n$是观察次数。这导致以下情况$(1-\alpha)$-CI

$$\tanh\left(\text{arctanh}(r_s) \pm \sqrt{\frac{1 + r_s^2/2}{n-3}} z_{\frac{\alpha}{2}}\right).$$

在哪里$z_{\frac{\alpha}{2}}$是个$\frac{\alpha}{2}$-标准正态分布的分位数。在 R 中，此函数将计算 CI

spearman_CI <- function(x, y, alpha = 0.05){
  rs <- cor(x, y, method = "spearman", use = "complete.obs")
  n <- sum(complete.cases(x, y))
  sort(tanh(atanh(rs) + c(-1,1)*sqrt((1+rs^2/2)/(n-3))*qnorm(p = alpha/2)))
}

Ruscio (2008) 进一步建议替换正态分位数$z_{\frac{\alpha}{2}}$由一个$t$-分位数$n-2$自由度以获得更好的覆盖率。

不过，CI 是近似值。尤其是在以下情况下

• $\rho_s > 0.95$（在哪里$\rho_s$是真实的总体斯皮尔曼相关性）
• $n < 25$
• 序数数据

bootstrap CI 具有明显更好的特性（Ruscio 2008，Bishara 和 Hittner 2017）。

来源

• Bishara、Anthony J. 和 James B. Hittner。“数据不正常时相关性的置信区间。” 行为研究方法 49，没有。1（2017 年 2 月 1 日）：294–309。https://doi.org/10.3758/s13428-016-0702-8。
• Bonett、Douglas G. 和 Thomas A. Wright。“估计 Pearson、Kendall 和 Spearman 相关性的样本量要求。” Psychometrika 65，没有。1（2000 年 3 月 1 日）：23-28。https://doi.org/10.1007/BF02294183。
• 鲁西奥，约翰。“构建 Spearman 秩相关与序数数据的置信区间：比较分析法和 Bootstrap 方法的模拟研究。” 现代应用统计方法杂志 7，没有。2（2008 年 11 月 1 日）。https://doi.org/10.22237/jmasm/1225512360。