Q1：PC时间序列和“最大方差”有什么联系？

他们正在分析的神经元中每个个数据点，因此可以将其视为维空间个数据点。它是“点云”，因此执行 PCA 等于找到最大方差的方向，正如您所知道的。我更喜欢将这些方向（它们是协方差矩阵的特征向量）称为“主轴”，并将数据在这些方向上的投影称为“主成分”。$\hat t$$n$$\hat t$$n$$\mathbb R^n$

在分析时间序列时，对这张图片的唯一补充是点是有意义的排序或编号（从到），而不是简单的点的无序集合。这意味着如果我们采用单个神经元的放电率（这是中的一个坐标），那么它的值可以绘制为时间的函数。类似地，如果我们取一台 PC（它是从在某行上的投影），那么它也有值并且可以绘制为时间的函数。因此，如果原始特征是时间序列，那么 PC 也是时间序列。$1$$\hat t$$\mathbb R^n$$\mathbb R^n$$\hat t$

我同意@Nestor 的上述解释：每个原始特征都可以看作是 PC 的线性组合，并且由于 PC 彼此之间不相关，因此可以将它们视为原始特征分解成的基函数。这有点像傅立叶分析，但我们不是采用正弦和余弦的固定基，而是为这个特定数据集找到“最合适”的基，从某种意义上说，第一台 PC 占最大方差等。

这里的“考虑最大方差”意味着如果您只采用一个基函数（时间序列）并尝试用它来近似您的所有特征，那么第一台 PC 将做得最好。所以这里的基本直觉是第一台 PC 是一个基函数时间序列，它最适合所有可用的时间序列，等等。

为什么弗里曼等人的这段话。这么混乱？

弗里曼等人。分析数据矩阵，变量（即神经元）在行（！）中，而不是在列中。请注意，它们减去行均值，这是有道理的，因为变量通常在 PCA 之前居中。然后他们执行 SVD：使用我上面提倡的术语，的列是主轴（在中的方向），的列是主成分（长度为的时间序列）。$\hat{\mathbf Y}$

你从弗里曼等人引用的句子。确实很混乱：

主成分（的列）是长度为的向量，分数（的列）是长度为（体素数）的向量，描述了每个体素在方向上的投影由相应的分量给出，形成体积上的投影，即全脑图。$\mathbf V$$\hat t$$\mathbf U$$n$

首先，的列不是 PC，而是缩放到单位范数的 PC。其次，的列不是分数，因为“分数”通常表示 PC。第三，“相应组件给出的方向”是一个神秘的概念。我认为他们在这里翻转图片并建议考虑个点，这样现在每个神经元都是一个数据点（而不是一个变量）。从概念上讲，这听起来像是一个巨大的变化，但在数学上几乎没有什么区别，唯一的变化是主轴和 [unit-norm] 主成分改变了位置。在这种情况下，我上面的 PC（ -long time series）将成为主轴，即$\mathbf V$$\mathbf U$$n$$\hat t$$\hat t$方向，并且可以被认为是这些方向上的归一化投影（归一化分数？）。$\mathbf U$

我觉得这很令人困惑，所以我建议忽略他们对单词的选择，而只看公式。从这一点开始，我将继续使用我喜欢的术语，而不是 Freeman 等人的方式。使用它们。

Q2：状态空间轨迹是什么？

他们获取单次试验数据并将其投影到前两个主轴上，即的前两列。如果您使用原始数据进行此操作，您将获得两个第一主成分。同样，一个主轴上的投影是一个主成分，即一个 -long 时间序列。$\mathbf U$$\hat{\mathbf Y}$$\hat t$

如果你用一些单次试验数据来做，你又会得到两个 -long 时间序列。在电影中，每一行都对应着这样的投影：x坐标根据PC1演变，y坐标根据PC2演变。这就是所谓的“状态空间”：PC1 针对 PC2 绘制。时间随着圆点的移动而流逝。$\mathbf Y$$\hat t$

电影中的每一行都是通过不同的单次试验获得的。$\mathbf Y$

关于第一个问题。将通过特定体素的整个时间序列视为来自多元分布的单个抽取。我们现在可以将其视为一个多元向量，就像我们可能应用 PCA 的任何其他向量一样。的前列是特征时间过程，当线性组合时，它们在刺激内提供了通过特定体素的时间过程的最佳近似值。$p$$\bf V$$\hat t$

所以是一个矩阵，因此是而是。$\bf \hat Y$$n \times \hat t$$\bf U$$n \times n$$\bf V$$\hat t \times \hat t$

关于第二个问题。给出的方程是

$\bf J = \bf U^T Y$

给定是一个 2 或 3矩阵。（这涉及删除行/列的小技巧。）选择两个或三个作为维度，因为这可以在论文的图 6 中绘制。$\bf J$$\times t$

然而 切割成与刺激呈现相对应的不同部分来获得单独的迹线（图 6 中的线） 。然后可以通过将每一列视为该空间中的一个点，然后在相邻列定义的点之间绘制一条线，从而在 2 或 3 维空间中绘制这些块中的每一个，从而给出轨迹。$t \ne \hat t$$\bf J$

从上面的视频开始，每个块出现 8 以顺序添加每个（列）点，将其连接到最后一个点，并将此长度序列渲染为视频。$\hat t$

我以前没有处理过着色方法，我需要一段时间才能有信心对这方面发表评论。我发现关于与图 4c 相似性的评论令人困惑，因为着色是通过每体素回归获得的。而在图 6 中，每条迹线都是整个图像的伪像。除非我直截了当地说，否则我认为这是该时间段内刺激的方向，如图中的注释所示。