机器算法验证 - 对于哪些分布，不相关性意味着独立性？ - 吾爱随笔录

统计学中一个由来已久的提醒是“不相关并不意味着独立”。通常，这个提醒会辅以心理安慰（并且科学上正确）的陈述“当两个变量共同正态分布时，那么不相关确实意味着独立”。

我可以将快乐异常的数量从 1 增加到 2：当两个变量是Bernoulli-distributed时，再一次，不相关意味着独立。如果和是两个 Bermoulli rv，，我们有，类似地对于，它们的协方差是 $X$ $Y$ $X \sim B(q_x),\; Y \sim B(q_y)$ $P(X=1) = E(X) = q_x$ $Y$

Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) = \sum_{S_{X Y}} p (x, y) x y - q_{x} q_{y}

$\operatorname{Cov}(X,Y)= E(XY) - E(X)E(Y) = \sum_{S_{XY}}p(x,y)xy - q_xq_y$

= P (X = 1, Y = 1) - q_{x} q_{y} = P (X = 1 ∣ Y = 1) P (Y = 1) - q_{x} q_{y}

$= P(X=1,Y=1) - q_xq_y = P(X=1\mid Y=1)P(Y=1)-q_xq_y$

= (P (X = 1 ∣ Y = 1) - q_{x}) q_{y}

$= \Big(P(X=1\mid Y=1)-q_x\Big)q_y$

对于不相关性，我们要求协方差为零，因此

Cov (X, Y) = 0 \Rightarrow P (X = 1 ∣ Y = 1) = P (X = 1)

$\operatorname{Cov}(X,Y) = 0 \Rightarrow P(X=1\mid Y=1) = P(X=1)$

\Rightarrow P (X = 1, Y = 1) = P (X = 1) P (Y = 1)

$\Rightarrow P(X=1,Y=1) = P(X=1)P(Y=1)$

这也是变量独立所需要的条件。

所以我的问题是：你知道不相关意味着独立的任何其他分布（连续或离散）吗？

含义：假设两个随机变量具有属于同一分布的边际分布（可能涉及的分布参数具有不同的值），但假设具有相同的支持，例如。两个指数，两个三角形等。方程的所有解是否都使得它们也暗示独立，由于所涉及的分布函数的形式/性质？正态边际（也考虑到它们具有二元正态分布）以及伯努利边际就是这种情况——还有其他情况吗？ $X,Y$ $\operatorname{Cov}(X,Y) = 0$

这里的动机是，与检查独立性是否成立相比，检查协方差是否为零通常更容易。因此，如果在给定理论分布的情况下，通过检查协方差您也在检查独立性（如伯努利或正常情况的情况），那么这将是一件有用的事情。
如果我们从两个具有正常边际的 rv 中获得两个样本，我们知道如果我们可以从样本中统计得出它们的协方差为零，我们也可以说它们是独立的（但仅仅是因为它们具有正常的边际）。如果两个 rv 具有属于其他分布的边缘，那么了解我们是否可以同样得出结论将很有用。