著名的Benjamini & Hochberg (1995)论文描述了基于调整 alpha 水平接受/拒绝假设的过程。该程序在调整后具有直接等效的重新表述$p$-values，但在原始论文中没有讨论。据 Gordon Smyth介绍，他介绍了调整后的$p$-2002 年p.adjust在 R 中实施时的值。不幸的是，没有相应的引用，所以我一直不清楚如果使用 BH-adjusted 应该引用什么$p$-价值观。

事实证明，该程序在Benjamini, Heller, Yekutieli (2009)中有所描述：

呈现此过程结果的另一种方法是呈现调整后的$p$-价值观。BH 调整$p$-值定义为

$$p^\mathrm{BH}_{(i)} = \min\Big\{\min_{j\ge i}\big\{\frac{mp_{(j)}}{j}\big\},1\Big\}.$$

这个公式看起来比实际复杂。它说：

1. 首先，全部订购$p$- 值从小到大。然后将每个相乘$p$- 测试总数的值$m$并除以它的等级顺序。
2. 其次，确保结果序列是非递减的：如果它开始递减，使前面的$p$-值等于后续（重复，直到整个序列变为非递减）。
3. 如果有的话$p$-value 最终大于 1，使其等于 1。

这是对 1995 年原始 BH 程序的直接重新表述。可能存在较早的论文明确介绍了 BH-adjusted 的概念$p$-values，但我不知道。

更新。@Zenit 发现Yekutieli & Benjamini (1999)早在 1999 年就描述了同样的事情：

首先是中肯的回答。考虑到$p_0$是（单项测试）$p$与价值相关的价值$z_0$的检验统计量。Benjamini-Hochberg FDR 分两步计算（$N_0$= # pvalues$\le$ $p_0$,$N$= # pvalues):

• $\text{FDR }(p_0) = \frac{\quad p_0 \quad }{\frac{N_0}{N}}$

• $\text{FDR }(p_i) = \min (\text{FDR}(p_i), \text{FDR}(p_{i+1}))$

现在让我们理解这一点。（贝叶斯）的基本思想是观察来自两个分布的混合：

• $\pi_0 \: N$从零密度观察$f_0(z)$
• $(1-\pi_0) \: N$来自替代密度的观察$f_1(z)$.

观察到的是这两者的混合：

• $f(z) = \pi_0 \cdot f_0(z) + (1-\pi_0) \cdot f_1(z)$

（贝叶斯）定义是：

• $\text{Fdr} = \frac{\pi_0 \: (1-F_0(z_0))}{(1-F(z))}$ （尾部区域的一小部分）
• $\text{fdr} = \frac{\pi_0 \: f_0(z_0)}{f(z)}$ （尾密度的一小部分）

如下图所示，当 Fdr 等价于 Benjamini hocherg FDR 时$\pi_0 \approx 1$（大多数生物信息学研究都是这种情况）

（基于 Efron & Tibshirani 的计算机时代统计推断）