机器算法验证 - 我如何用一阶差分变量解释我的回归？ - 吾爱随笔录

我如何用一阶差分变量解释我的回归？

机器算法验证回归时间序列

2022-01-22 10:00:16

我有两个时间序列：

市场风险溢价的代理（ERP；红线）
以政府债券为代表的无风险利率（蓝线）

随时间变化的风险溢价代理和无风险利率

我想测试无风险利率是否可以解释 ERP。在此，我基本上遵循了 Tsay（2010 年，第 3 版，第 96 页）的建议：金融时间系列：

拟合线性回归模型并检查残差的序列相关性。
如果残差序列是单位根非平稳性，则取因变量和解释变量的一阶差分。

做第一步，我得到以下结果：

Coefficients:
               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)     6.77019    0.25103   26.97   <2e-16 ***
Risk_Free_Rate -0.65320    0.04123  -15.84   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

正如从图中预期的那样，这种关系是负的且显着的。但是，残差是序列相关的：

ERP无风险率回归残差的ACF函数

因此，我首先区分因变量和解释变量。这是我得到的：

Coefficients:
                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)    -0.002077   0.016497  -0.126      0.9    
Risk_Free_Rate -0.958267   0.053731 -17.834   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

残差的 ACF 如下所示：

ERP 上无风险率回归残差的 ACF 函数（差分）

这个结果看起来很棒：首先，残差现在是不相关的。其次，现在这种关系似乎更加消极。

这是我的问题（你现在可能想知道 ;-) 第一个回归，我会解释为（撇开经济计量问题不谈）“如果无风险利率上升一个百分点，ERP 下降 0.65 个百分点。” 实际上，在考虑了一段时间之后，我会解释第二次回归的相同（但现在导致下降了 0.96 个百分点）。这种解释正确吗？只是感觉很奇怪，我转换了我的变量，但不必改变我的解释。但是，如果这是正确的，为什么结果会改变？这仅仅是计量经济学问题的结果吗？如果是这样，有谁知道为什么我的第二次回归似乎“更好”？通常，我总是读到，在你正确地做之后，你可能会有虚假的相关性消失。这里，

2个回答

假设我们有模型

y_{t} = β_{0} + β_{1} x_{t} + β_{2} t + ϵ_{t} .

$\begin{equation*} y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t + \beta_2 t + \epsilon_t. \end{equation*}$ 你说这些系数更容易解释。让我们减去

y_{t - 1}

$y_{t-1}$ 从左侧和

β_{0} + β_{1} x_{t - 1} + β_{2} (t - 1) + ϵ_{t - 1}

$\beta_0 + \beta_1 x_{t-1} + \beta_2 ({t-1}) + \epsilon_{t-1}$ , 等于

y_{t - 1}

$y_{t-1}$ ，从右手边。我们有

Δ y_{t} = β_{1} Δ x_{t} + β_{2} + Δ ϵ_{t} .

$\begin{equation*} \Delta y_t = \beta_1 \Delta x_t + \beta_2 + \Delta \epsilon_t. \end{equation*}$ 差分方程中的截距是时间趋势。和上的系数

Δ x

$\Delta x$ 具有相同的解释

β_{1}

$\beta_1$ 在原始模型中。

如果错误是非平稳的，那么

ϵ_{t} = \sum_{s = 0}^{t - 1} ν_{s},

$\begin{equation*} \epsilon_t = \sum_{s=0}^{t-1}{\nu_s}, \end{equation*}$ 这样

ν_{s}

$\nu_s$ 是白噪声，差分误差是白噪声。

例如，如果误差具有平稳的 AR(p) 分布，则差分误差项将具有更复杂的分布，并且值得注意的是，将保持序列相关性。或者如果原 $\epsilon$ 已经是白噪声（如果您愿意，可以使用相关系数为 0 的 AR(1)），然后差分会导致误差之间的序列相关。

由于这些原因，重要的是只区分由于单位根而非平稳的过程，并对所谓的趋势平稳过程使用去趋势。

（单位根会导致序列的方差发生变化，并且实际上会随着时间的推移而爆炸；但是，该序列的期望值是恒定的。趋势平稳过程具有相反的性质。）

一阶差分消除了似乎持续存在于原始残差中的线性趋势。看起来第一次差分消除了残差的趋势，剩下的残差基本不相关。我认为，残差的趋势可能隐藏了 ERP 和无风险利率之间的部分负相关关系，这就是模型在差分后显示出更强关系的原因。

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