我一直在学习 Cox 比例风险模型。我有很多拟合逻辑回归模型的经验，因此为了建立直觉，我一直在比较使用R“生存”拟合的模型和使用withcoxph拟合的逻辑回归模型。glmfamily="binomial"
如果我运行代码：
library(survival)
s = Surv(time=lung$time, event=lung$status - 1)
summary(coxph(s ~ age, data=lung))
summary(glm(status-1 ~ age, data=lung, family="binomial"))
我分别得到年龄 0.0419 和 0.0254 的 p 值。同样，如果我使用性别作为预测指标，无论是否有年龄。
我觉得这令人费解，因为我认为在拟合模型时考虑经过的时间量会比仅仅将死亡视为二元结果提供更多的统计能力，而 p 值似乎与统计能力较小的结果一致。这里发生了什么？
逻辑回归模型假设响应是伯努利试验（或更一般地说是二项式，但为简单起见，我们将其保持为 0-1）。生存模型假设响应通常是事件发生的时间（同样，我们将跳过对此的概括）。另一种说法是，单位会传递一系列值，直到事件发生。并不是说硬币实际上在每个点都被离散地翻转。（当然，这可能会发生，但是你需要一个用于重复测量的模型——也许是一个 GLMM。）
您的逻辑回归模型将每次死亡视为发生在该年龄并出现反面的硬币翻转。同样，它将每个审查数据视为发生在指定年龄并出现正面的单个硬币翻转。这里的问题是这与数据的真实情况不一致。
这是一些数据图和模型的输出。（请注意，我将逻辑回归模型的预测转换为预测活着，以便该线与条件密度图匹配。）
library(survival)
data(lung)
s = with(lung, Surv(time=time, event=status-1))
summary(sm <- coxph(s~age, data=lung))
# Call:
# coxph(formula = s ~ age, data = lung)
#
# n= 228, number of events= 165
#
# coef exp(coef) se(coef) z Pr(>|z|)
# age 0.018720 1.018897 0.009199 2.035 0.0419 *
# ---
# Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
#
# exp(coef) exp(-coef) lower .95 upper .95
# age 1.019 0.9815 1.001 1.037
#
# Concordance= 0.55 (se = 0.026 )
# Rsquare= 0.018 (max possible= 0.999 )
# Likelihood ratio test= 4.24 on 1 df, p=0.03946
# Wald test = 4.14 on 1 df, p=0.04185
# Score (logrank) test = 4.15 on 1 df, p=0.04154
lung$died = factor(ifelse(lung$status==2, "died", "alive"), levels=c("died","alive"))
summary(lrm <- glm(status-1~age, data=lung, family="binomial"))
# Call:
# glm(formula = status - 1 ~ age, family = "binomial", data = lung)
#
# Deviance Residuals:
# Min 1Q Median 3Q Max
# -1.8543 -1.3109 0.7169 0.8272 1.1097
#
# Coefficients:
# Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
# (Intercept) -1.30949 1.01743 -1.287 0.1981
# age 0.03677 0.01645 2.235 0.0254 *
# ---
# Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
#
# (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
#
# Null deviance: 268.78 on 227 degrees of freedom
# Residual deviance: 263.71 on 226 degrees of freedom
# AIC: 267.71
#
# Number of Fisher Scoring iterations: 4
windows()
plot(survfit(s~1))
windows()
par(mfrow=c(2,1))
with(lung, spineplot(age, as.factor(status)))
with(lung, cdplot(age, as.factor(status)))
lines(40:80, 1-predict(lrm, newdata=data.frame(age=40:80), type="response"),
col="red")
考虑数据适用于生存分析或逻辑回归的情况可能会有所帮助。想象一下一项研究，以确定患者在出院后 30 天内根据新的协议或护理标准重新入院的可能性。然而，所有患者都被跟踪到再入院，并且没有审查（这不太现实），因此可以通过生存分析（即，这里的 Cox 比例风险模型）来分析再入院的确切时间。为了模拟这种情况，我将使用比率为 0.5 和 1 的指数分布，并使用值 1 作为截止值来表示 30 天：
set.seed(0775) # this makes the example exactly reproducible
t1 = rexp(50, rate=.5)
t2 = rexp(50, rate=1)
d = data.frame(time=c(t1,t2),
group=rep(c("g1","g2"), each=50),
event=ifelse(c(t1,t2)<1, "yes", "no"))
windows()
plot(with(d, survfit(Surv(time)~group)), col=1:2, mark.time=TRUE)
legend("topright", legend=c("Group 1", "Group 2"), lty=1, col=1:2)
abline(v=1, col="gray")
with(d, table(event, group))
# group
# event g1 g2
# no 29 22
# yes 21 28
summary(glm(event~group, d, family=binomial))$coefficients
# Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
# (Intercept) -0.3227734 0.2865341 -1.126475 0.2599647
# groupg2 0.5639354 0.4040676 1.395646 0.1628210
summary(coxph(Surv(time)~group, d))$coefficients
# coef exp(coef) se(coef) z Pr(>|z|)
# groupg2 0.5841386 1.793445 0.2093571 2.790154 0.005268299
在这种情况下，我们看到逻辑回归模型 ( 0.163)的p 值高于生存分析 ( 0.005) 的 p 值。为了进一步探索这个想法，我们可以扩展模拟以估计逻辑回归分析与生存分析的功效，以及 Cox 模型的 p 值低于逻辑回归的 p 值的概率. 我还将使用 1.4 作为阈值，这样我就不会通过使用次优截止来使逻辑回归不利：
xs = seq(.1,5,.1)
xs[which.max(pexp(xs,1)-pexp(xs,.5))] # 1.4
set.seed(7458)
plr = vector(length=10000)
psv = vector(length=10000)
for(i in 1:10000){
t1 = rexp(50, rate=.5)
t2 = rexp(50, rate=1)
d = data.frame(time=c(t1,t2), group=rep(c("g1", "g2"), each=50),
event=ifelse(c(t1,t2)<1.4, "yes", "no"))
plr[i] = summary(glm(event~group, d, family=binomial))$coefficients[2,4]
psv[i] = summary(coxph(Surv(time)~group, d))$coefficients[1,5]
}
## estimated power:
mean(plr<.05) # [1] 0.753
mean(psv<.05) # [1] 0.9253
## probability that p-value from survival analysis < logistic regression:
mean(psv<plr) # [1] 0.8977
因此逻辑回归的功效（约 75%）低于生存分析（约 93%），并且生存分析的 90% 的 p 值低于逻辑回归的相应 p 值。考虑到滞后时间，而不是仅仅小于或大于某个阈值，确实会产生更多的统计能力，就像你直觉的那样。