这是正交投影上线性代数的基本结果。一个比较简单的方法如下。如果$u_1, \ldots, u_m$是跨越一个的正交向量$m$维子空间$A$， 和$\mathbf{U}$是个$n \times p$矩阵与$u_i$的作为列，然后

$$\mathbf{P} = \mathbf{U}\mathbf{U}^T.$$ 这直接源于以下事实：$x$到$A$可以根据标准正交基计算$A$作为 $$\sum_{i=1}^m u_i u_i^T x.$$ 从上面的公式可以直接得出$\mathbf{P}^2 = \mathbf{P}$然后$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}.$

也可以给出不同的论点。如果$\mathbf{P}$是正交投影的投影矩阵，则根据定义，对于所有$x,y \in \mathbb{R}^n$

$$\mathbf{P}x \perp y-\mathbf{P}y.$$ 最后，
$$0 = (\mathbf{P} x)^T (y - \mathbf{P}y) = x^T \mathbf{P}^T (I - \mathbf{P}) y = x^T (\mathbf{P}^T - \mathbf{P}^T \mathbf{P}) y$$ 对全部$x, y \in \mathbb{R}^n$. 这表明$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P}$, 从何而来 $$\mathbf{P} = (\mathbf{P}^T)^T = (\mathbf{P}^T \mathbf{P})^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{P}^T.$$

几何直觉的尝试……回想一下：

1. 对称矩阵是自伴随的。
2. 标量积仅由相互线性空间中的分量确定（并且独立于任何向量的正交分量）。

您想要“看到”的是投影是自伴随的，因此是对称的——遵循 (1)。为什么会这样？考虑向量的标量积$x$与投影$A$第二个向量的$y$：$\langle x,Ay \rangle$. 在 (2) 之后，产品将仅取决于$x$在投影的跨度$y$. 所以产品应该是一样的$\langle Ax,Ay \rangle$，并且$\langle Ax,y\rangle$遵循相同的论点。

自从$A$是自伴随的——它是对称的。