@davidhigh 写的是正确的：如果你乘以简化版本$\mathbf U_\mathrm{r}$,$\mathbf S_\mathrm{r}$， 和$\mathbf V_\mathrm{r}$，正如您在问题中描述的那样，您将获得一个矩阵

$$\tilde{ \mathbf A}=\mathbf U_\mathrm{r}\mathbf S_\mathrm{r}\mathbf V_\mathrm{r}^\top$$ 具有与以前完全相同的尺寸，但降低了 rank。

但是，@davidhigh 没有添加的是，您可以通过将简化版本相乘来获得您想要的$\mathbf U_\mathrm{r}$和$\mathbf S_\mathrm{r}$仅，即计算

$$\mathbf B=\mathbf U_\mathrm{r}\mathbf S_\mathrm{r}.$$ 这个矩阵只有（在你的例子中）$100$列，但行数与$\mathbf A$. 矩阵$\mathbf V$仅用于将数据从这个缩减的 100 维空间映射到您的原始数据$p$维空间。如果您不需要将其映射回来，请离开$\mathbf V$出来了，你就完了。

顺便说一下，矩阵的列$\mathbf B$将包含所谓的数据的主要成分。

您似乎并不完全了解 SVD 的作用。正如您所写，它分解了一个矩阵$\mathbf A$根据

$$\mathbf A = \mathbf U \mathbf S \mathbf V^T,$$

阅读有关矩阵维度和属性的详细信息，例如此处。

现在，通过忽略对角矩阵中的小奇异值来进行降维$\mathbf S$. 无论您将多少奇异值近似设置为零，生成的矩阵$\mathbf A$始终保持其原始尺寸。特别是，您不会删除任何行或列。

因此，降维的特性只在分解版本中被利用。例如考虑一个秩为 1 的非常大的矩阵，即列/行向量仅跨越一维子空间。对于此矩阵，您将仅获得一个非零奇异值。现在，除了存储这个大矩阵，还可以存储两个向量和一个实数，这相当于减少了一个数量级。