我试图了解如何在 ARIMA 建模/Box Jenkins (BJ) 中估计参数。不幸的是，我遇到的所有书籍都没有详细描述估计过程，例如对数似然估计过程。以下是任何标准教科书中 ARMA 的对数似然：

$$LL(\theta)=-\frac{n}{2}\log(2\pi) - \frac{n}{2}\log(\sigma^2) - \sum\limits_{t=1}^n\frac{e_t^2}{2\sigma^2}$$

我想通过自己来学习 ARIMA/BJ 估计。所以我用$R$编写用于手动估计 ARMA 的代码。下面是我所做的$R$,

• 我模拟了 ARMA (1,1)
• 把上面的方程写成一个函数
• 使用模拟数据和优化函数来估计 AR 和 MA 参数。
• 我还在 stats 包中运行了 ARIMA，并比较了我手动操作的 ARMA 参数。 下面是对比：

**以下是我的问题：

• 为什么估计变量和计算变量之间存在细微差别？
• ARIMA 是否在 R 回溯中起作用，或者估计过程与我的代码中下面概述的不同？
• 我已将观察 1 处的 e1 或错误指定为 0，这是正确的吗？
• 还有一种方法可以使用优化的粗麻布估计预测的置信范围吗？

非常感谢您一如既往的帮助。

下面是代码：

## Load Packages

library(stats)
library(forecast)

set.seed(456)


## Simulate Arima
y <- arima.sim(n = 250, list(ar = 0.3, ma = 0.7), mean = 5)
plot(y)

## Optimize Log-Likelihood for ARIMA

n = length(y) ## Count the number of observations
e = rep(1, n) ## Initialize e

logl <- function(mx){
  
  g <- numeric
  mx <- matrix(mx, ncol = 4)
  
  mu <- mx[,1] ## Constant Term
  sigma <- mx[,2] 
  rho <- mx[,3] ## AR coeff
  theta <- mx[,4] ## MA coeff
  
  e[1] = 0 ## Since e1 = 0
  
  for (t in (2 : n)){
    e[t] = y[t] - mu - rho*y[t-1] - theta*e[t-1]
  }
  
  ## Maximize Log-Likelihood Function 
  g1 <-  (-((n)/2)*log(2*pi) - ((n)/2)*log(sigma^2+0.000000001) - (1/2)*(1/(sigma^2+0.000000001))*e%*%e)
  
  ##note: multiplying Log-Likelihood by "-1" in order to maximize in the optimization
  ## This is done becuase Optim function in R can only minimize, "X"ing by -1 we can maximize
  ## also "+"ing by 0.000000001 sigma^2 to avoid divisible by 0
  g <- -1 * g1
  
  return(g)
  
}

## Optimize Log-Likelihood
arimopt <- optim(par=c(10,0.6,0.3,0.5), fn=logl, gr = NULL,
                 method = c("L-BFGS-B"),control = list(), hessian = T)
arimopt

############# Output Results###############
ar1_calculated = arimopt$par[3]
ma1_calculated = arimopt$par[4]
sigmasq_calculated = (arimopt$par[2])^2
logl_calculated = arimopt$val
ar1_calculated
ma1_calculated
sigmasq_calculated
logl_calculated

############# Estimate Using Arima###############
est <- arima(y,order=c(1,0,1))
est