机器算法验证 - 连续随机变量 - 孩子准时上学的概率 - 吾爱随笔录 - 问答

连续随机变量 - 孩子准时上学的概率

机器算法验证可能性分布均匀分布

2022-02-02 18:59:56

一位父亲在早上 6 点 15 分到 6 点 45 分之间离开家送儿子上学，通常需要 30 到 40 分钟才能到达那里。让 $X$ 和 $Y$ 是独立且随机均匀分布的连续变量，分别代表离家时间和上学路上花费的时间。孩子在早上 7 点上课之前到达的概率是多少？

（如果拼写错误或顺序不寻常，我很抱歉。我不是母语人士，所以我不确定“随机均匀分布的连续变量”的顺序是否正确）

坦率地说，我对如何在此处进行操作一无所知。我想做的第一件事就是将时间转换为只有几分钟，以使 $X$ 和 $Y$ 可比（某种意义上）。在那之后，把早上 7 点想象成 420 分钟，我们需要 $X+Y < 420$ . 在此之后，我被卡住了（我什至不确定在此之前的推理是否可靠）。

非常感谢任何帮助！

4个回答

正如你所建议的， $X$ 和 $Y$ 可以描述为两个独立的均匀随机变量 $X \sim \mathcal{U(375, 405)}$ , $Y \sim \mathcal{U(30, 40)}$ . 我们很有趣地发现 $\mathbb{P}[X + Y \leq 420]$ . 这个问题可以用简单的几何方法来处理。

P [X + Y \leq 420] = \frac{grey area}{total area} = \frac{Δ y \times d_{1} + \frac{1}{2} Δ y \times d_{2}}{Δ x \times Δ y} = \frac{5 + \frac{1}{2} \cdot 10}{30} = \frac{1}{3},

$\mathbb{P}[X + Y \leq 420] = \frac{\text{grey area}}{\text{total area}} = \frac{ \Delta y \times d_1+ \frac{1}{2}\Delta y \times d_2}{\Delta x \times \Delta y} = \frac{5 + \frac{1}{2}\cdot10}{30} = \frac{1}{3},$ 在哪里

Δ x = 405 - 375 = 30

$\Delta x = 405 - 375 = 30$ ,

Δ y = 40 - 30 = 10

$\Delta y = 40 - 30 = 10$ ,

d_{1} = (420 - 40) - 375

$d_1 = (420-40)-375$ 和

d_{2} = 390 - (420 - 40)

$d_2 = 390 - (420-40)$

写 $X \sim U(15,45)$ 和 $Y \sim U(30,40)$ ，然后可以将您要解决的问题写为 $P(X+Y<60)$ . 我在这里使用的开始时间是早上 6:00，因此需要到出发时间和行驶时间的总和小于 60。

定义 $Z=X+Y,$ 以便

F_{Z} (z) = \int_{30}^{40} F_{X} (z - y) f_{Y} (y) d y,

$F_Z(z) = \int_{30}^{40} F_X(z-y)f_Y(y)dy,$ 这是对两个独立的连续随机变量求和得出的。我们想解决

F_{Z} (60)

$F_Z(60)$ . 更换

z = 60, F_{X} (x) = \frac{x - 15}{30},

$z=60, F_X(x)=\frac{x-15}{30},$ 和

f_{Y} (y) = \frac{1}{10}

$f_Y(y) = \frac{1}{10}$ ，我们有

P (Arrive before 7AM) = \int_{30}^{40} \frac{(60 - y) - 15}{30} \frac{1}{10} d y

$P(\text{Arrive before 7AM}) = \int_{30}^{40} \frac{(60-y)-15}{30}\frac{1}{10}dy$

P (Arrive before 7AM) = \frac{1}{300} \int_{30}^{40} (45 - y) d y = \frac{1}{3} .

$P(\text{Arrive before 7AM})= \frac{1}{300} \int_{30}^{40} (45-y)dy=\frac{1}{3}.$

更简单的方法：

有 30 分钟的间隔他可以离开，因此有一个 $x/30$ 在任何给定期间离开的机会 $x$ -分钟的时间。

有个 $5/30$ 有机会在 6:15 到 6:20 之间离开，并且会有一个 $100\%$ 如果他在该间隔期间的任何时间离开，则有可能在 7 点之前到达。
有个 $10/30$ 有机会在 6:20 到 6:30 之间离开。

6:20 有一个 $100\%$ 7点前到达的机会。

6点30分有 $0\%$ 7点前到达的机会（由于时间是连续的，有一个 $0\%$ 正好花 30 分钟的机会）。

在 7 点之前到达的机会在 6:20 和 6:30 之间线性减少，因为这仅仅对应于（相反）旅程持续时间短于某个持续时间的概率，这是线性的。

我们可以平均这些百分比并说有一个 $50\%$ 如果我们在 6:20 到 6:30 之间的某个随机时间点出发，就有可能在 7 点之前到达。
有个 $0\%$ 如果我们在 6:30 之后离开，有可能在 7 点之前到达，所以我们可以忽略这一点。

现在我们可以简单地将概率相加得到整体概率：

$5/30 * 100\% + 10/30 * 50\% + 0 = 5/30 + 5/30 = 10/30 = 1/3$

所以有一个 $1/3$ 早上 7 点前到达的机会。

我们应该从划分空间开始。

如果爸爸在 6 点 45 分离开，那么他准时到校的几率为 0%，因为车程最短需要 30 分钟。所以最迟，爸爸需要在 6:15 到 6:30 之间离开。

让我们写出一些场景：

爸爸6:15后0分钟离开，最多可以走45分钟
爸爸6点15后5分钟离开，最多可以走40分钟
爸爸6点15分后10分钟走，最多可以走35分钟
爸爸6点15分后15分钟离开，最多可以走30分钟
爸爸走得再晚，孩子就会迟到

让 $X \sim U(0,30)$ 是爸爸在 6:15 后离开的那一刻，让 $Y\sim U(30,40)$ 以分钟为单位的骑行持续时间。如果孩子会准时到达

X + Y \leq 45

$X+Y \leq 45$

另一种思考方式是“假设父亲最早在 6:15 离开，孩子上学的时间，包括父亲离开的时间，不得超过 45 分钟”。因为两个随机变量都是一致的，所以您可以只取面积比来计算概率。

爸爸可以上学的空间面积是 5*10 + 10*10/2 = 100。整个空间的面积是 300。所以爸爸有 1/3 的机会成功。让我们通过仿真来验证这一点。

x = runif(100000000,0, 30)
y = runif(100000000,30,40)

mean(x+y<45)
>>>0.3333499

在模拟错误中这是正确的。

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