变量可以以 Pearson 相关性完全看不到的方式关联。

在多元正态分布中，Pearson 相关是“穷举的”，因为唯一可能的关联由$\rho$. 但是对于其他分布（即使是那些具有正常边距的分布），可能存在没有相关性的关联。这是 3 个正态随机变量（x,y 和 x,z）的几个图；它们高度相关（如果你告诉我$x$-variate，我会告诉你另外两个，如果你告诉我$y$我可以告诉你$z$)，但它们都是不相关的。

这是关联但不相关变量的另一个示例：

（基本点是关于分布的，尽管我在这里用数据来说明它。）

即使变量是相关的，Pearson 相关性通常也不会告诉您如何- 您可以获得具有相同 Pearson 相关性的非常不同形式的关联，（但是当变量是多元正态时，只要我告诉你您可以准确地说出标准化变量之间的相关性）。

因此，皮尔逊相关性并没有“耗尽”变量关联的方式——它们可以关联但不相关，或者它们可以相关但以完全不同的方式关联。[不完全由相关性捕获的关联可能发生的方式多种多样——但如果其中任何一种发生，你就不可能有一个多元正态。但是请注意，我的讨论中没有任何内容暗示这（知道$\rho$定义可能的关联）表征多元正态，即使标题引用似乎暗示了它。]

（解决多元关联的一种常见方法是通过 copulas。现场有许多与 copulas 相关的问题；您可能会发现其中一些很有帮助）

最好将多元分布中的“关联度量”理解为包含在任意重新调整和重新调整值时保持不变的所有属性。这样做可以将均值和方差更改为任何理论上允许的值（方差必须为正；均值可以是任何值）。

相关系数（“Pearson's$\rho$") 然后完全确定多元正态分布。查看这一点的一种方法是查看任何公式定义，例如密度函数或特征函数的公式。它们仅涉及均值、方差和协方差——但协方差和相关性可以当您知道差异时，可以相互推导出来。

多元正态分布族并不是唯一具有此属性的分布族。例如，任何多元 t 分布（对于自由度超过$2$) 具有明确定义的相关矩阵，并且完全由其前两个矩确定。