它有助于思考什么是维度的诅咒。CV上有几个非常不错的主题值得一读。这是一个开始的地方： 向孩子解释“维度的诅咒”。

我注意到您对这如何适用于$k$- 表示聚类。值得注意的是$k$-means 是一种最小化（仅）平方欧几里得距离的搜索策略。鉴于此，值得思考欧几里得距离与维度灾难的关系（请参阅：为什么欧几里得距离在高维中不是一个好的度量？）。

这些线程的简短回答是，空间的体积（大小）相对于维数以令人难以置信的速度增加。甚至$10$维度（对我来说似乎不是非常“高维度”）可以带来诅咒。如果您的数据在该空间中均匀分布，则所有对象彼此之间的距离大致相等。然而，正如@Anony-Mousse 在他对该问题的回答中指出的那样，这种现象取决于数据在空间内的排列方式；如果他们不统一，你不一定有这个问题。这就引出了均匀分布的高维数据是否非常普遍的问题（参见：“维度灾难”是否真的存在于真实数据中？）。

我认为重要的不一定是变量的数量（数据的字面维度），而是数据的有效维度。在假设下$10$尺寸“太高”$k$-意思是，最简单的策略是计算您拥有的功能数量。但是，如果您想考虑有效维度，您可以执行主成分分析 (PCA) 并查看特征值如何下降。大多数变化存在于几个维度中（通常跨越数据集的原始维度）是很常见的。这意味着您不太可能遇到问题$k$- 意味着您的有效维度实际上要小得多。

一个更复杂的方法是检查数据集中成对距离的分布，沿着@hxd1011 在他的回答中建议的行。查看简单的边际分布会给你一些可能的均匀性的暗示。如果您将所有变量归一化以位于区间内$[0,\ 1]$, 成对距离必须在区间内$[0,\ \sqrt{\sum D}]$. 高度集中的距离会造成问题；另一方面，多模态分布可能是有希望的（您可以在我的回答中看到一个示例：如何在聚类中同时使用二元和连续变量？）。

然而，无论$k$-手段将“工作”仍然是一个复杂的问题。在您的数据中存在有意义的潜在分组的假设下，它们不一定存在于您的所有维度或最大化变化的构造维度（即主成分）中。集群可以在较低变化的维度中（请参阅：PCA 的示例，其中具有低变化的 PC 是“有用的”）。也就是说，您可以在您的几个维度上或在低变体 PC 上，在内部接近且在它们之间很好分离的点的集群，但在高变体 PC 上却不相似，这将导致$k$-意味着忽略您所追求的集群并选择人造集群（可以在此处看到一些示例：如何理解 K-means 的缺点）。

我的回答不限于 K 均值，而是检查我们是否对任何基于距离的方法都存在维度灾难。K-means 基于距离度量（例如，欧几里得距离）

在运行算法之前，我们可以检查距离度量分布，即所有数据对的所有距离度量。如果你有$N$数据点，你应该有$0.5\cdot N\cdot(N-1)$距离度量。如果数据太大，我们可以检查一个样本。

如果我们遇到维度灾难问题，您会看到，这些值彼此非常接近。这似乎非常违反直觉，因为这意味着每个人都离每个人都近或远，而距离测量基本上是无用的。

这是一些模拟，可以向您展示这种违反直觉的结果。如果所有的特征都是均匀分布的，如果维度太多，每个距离度量都应该接近$\frac 1 6$，它来自$\int_{x_i=0}^1\int_{x_j=0}^1 (x_i-x_j)^2 dx_i dx_j$. 随意将均匀分布更改为其他分布。例如，如果我们更改为正态分布（更改runif为rnorm），它将收敛到另一个具有大数维数的数。

这是维度从 1 到 500 的模拟，特征是从 0 到 1 的均匀分布。

plot(0, type="n",xlim=c(0,0.5),ylim=c(0,50))
abline(v=1/6,lty=2,col=2)
grid()

n_data=1e3
for (p in c(1:5,10,15,20,25,50,100,250,500)){
    x=matrix(runif(n_data*p),ncol=p)
    all_dist=as.vector(dist(x))^2/p
    lines(density(all_dist))
}