在金融领域，GARCH（广义自回归条件异方差）效应在这里被广泛引用：股票收益，其中的价格，它们本身是不相关的如果股票市场是有效的（否则，您可以轻松且有利地预测价格走势），则它们自己的过去和不是：有方差的时间依赖性，在时间上聚集在一起，在波动时期具有高方差。$r_t:=(P_t-P_{t-1})/P_{t-1}$$P_t$$t$$r_{t-1}$$r_t^2$$r_{t-1}^2$

这是一个人为的例子（我知道，但“真实”的股票回报系列可能看起来很相似）：

周围的高波动性集群。$t\approx400$

使用 R 代码生成：

library(TSA)
garch01.sim <- garch.sim(alpha=c(.01,.55),beta=0.4,n=500)
plot(garch01.sim, type='l', ylab=expression(r[t]),xlab='t')

一个简单的示例是在环形区域上均匀的二元分布。这些变量是不相关的，但显然是相互依赖的——例如，如果您知道一个变量接近其均值，那么另一个变量必须远离其均值。

我从wiki中发现下图对直觉非常有用。特别是，底行显示了不相关但依赖分布的示例。

wiki 中上述图的说明：几组 (x, y) 点，每组的 x 和 y 的 Pearson 相关系数。请注意，相关性反映了线性关系的噪声和方向（顶行），但不是该关系的斜率（中），也不是非线性关系的许多方面（下）。注意：中心的图形的斜率为 0，但在这种情况下，相关系数未定义，因为 Y 的方差为零。

您在问题的标题中提到了两个通常可以互换使用的词，相关性和依赖性，但是在您的问题主体中，您将相关性的定义限制为 Pearson 相关性，我认为这确实是适当的含义相关性，当没有提供其他细节时。但是，我相信您真正想问的不仅仅是线性相关性，而是统计相关性，即：变量何时相关，但在测量时是独立的？

我的意思是，线性关联的度量不会捕获相关但不是线性方式的变量之间的关联，这很简单。这样的例子在我们身边随处可见，尽管很难找到恰好为 0 的 ar 值。

然而，回到我阐述的更广泛的问题，可能存在虚假的独立性。也就是说，变量是相关的，但您的抽样将表明它们是独立的。我写了一篇关于这个的文章，也有科学论文提到这个问题，比如这个。

控制变量可以等同于对数据进行切片。通过切片太多（针对许多其他变量进行调整），预计您的两个随机变量看起来是独立的。有人可能会说：但我不会适应任何事情！答案是：你不需要。收集到的数据可能存在偏差（选择偏差），而您并没有意识到这一点。