问题是由于半径不是均匀分布的。即如果均匀分布在 上，则变量的（极坐标）变化 的密度为 使用和导致 因此，角度均匀分布在$(X,Y)$

$$\left\{ (x,y);\ x^2+y^2\le 1\right\}$$ $$R=(X^2+Y^2)^{1/2}\qquad A=\text{sign}(Y)\arccos(X/R)$$ $$\frac{1}{\pi} \mathbb{I}_{(0,1)}(r)\left|\frac{\text{d}(X,Y)}{\text{d}(R,A)}(r,\alpha)\right|\mathbb{I}_{(0,2\pi)}(\alpha)$$ $x = r \cos \alpha$$y = r \sin \alpha$ $$\left|\frac{\text{d}(X,Y)}{\text{d}(R,A)}(r,\alpha)\right|=r(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=r$$ $A$$(0,2\pi)$但是半径在(0,1)上具有密度和 cdf。正如一个可以通过运行检查$R$$f(r)=2r\mathbb{I}_{(0,1)}(r)$$F(r)=r^2$$(0,1)$

r <- sqrt(runif(1000, min=0, max=1) )
alpha <- runif(1000, min=0, max=2*pi)
x <- r*cos(alpha)
y <- r*sin(alpha)
plot(x,y, pch=19, col=rgb(0,0,0,0.05), asp=1)

其中半径由逆 cdf 表示模拟，这使其成为 Uniform 变量的平方根，10³ 模拟点的随机重新分配与统一兼容：

最简单且最不容易出错的方法是拒绝采样：在圆圈周围的正方形中生成均匀分布的点，并且只保留那些在圆圈中的点。

nn <- 1e4
radius <- 1
set.seed(1) # for reproducibility
foo <- cbind(runif(nn,-radius,radius),runif(nn,-radius,radius))
plot(foo[rowSums(foo^2)<radius^2,],pch=19,cex=0.6,xlab="x",ylab="y")

当然，您只会保留一小部分生成的数据点，大约$\frac{\pi}{4}$（即外接正方形与圆盘的面积之比）。所以你可以从$\frac{4n}{\pi}$积分，或生成积分，直到您保持目标数量$n$其中。

您可以在此处的相关问题中找到这种情况的数学计算。方法在西安的优秀答案中有所阐述，可以总结为以下要求：

$$\begin{matrix} R^2 \sim \text{U}(0,1) \quad \ \ & & & X = R \cos (\theta), \\[6pt] \theta \sim \text{U}(0, 2\pi) & & & Y = R \sin(\theta). \\[6pt] \end{matrix}$$

继另一个答案之后，当您提出这些解决方案时，尝试将它们概括为可以为特定类别的问题生成随机值的函数通常很有用。在这种情况下，一个自然的概括是查看具有任意中心和半径的圆上随机生成的点。使用与现有答案相同的基本方法，这是一个通用函数，可以在具有任意中心和半径的圆上均匀地生成随机点。

runifcircle <- function(n, centre = c(0, 0), center = centre, radius = 1) {
  
  #Check inputs
  if (!missing(centre) && !missing(center)) {
  if (sum((centre - center)^2) < 1e-15) { 
                 warning("specify 'centre' or 'center' but not both") } else {
                    stop("Error: specify 'centre' or 'center' but not both") } }
  if (radius < 0) { stop("Error: radius must be non-negative") }
  
  #Create output matrix
  OUT      <- matrix(0, nrow = 2, ncol = n)
  rownames(OUT) <- c('x', 'y')
  
  #Generate uniform values on circle
  r2       <- runif(n, min = 0, max = radius^2)
  theta    <- runif(n, min = 0, max = 2*pi)
  OUT[1, ] <- center[1] + sqrt(r2)*cos(theta)
  OUT[2, ] <- center[2] + sqrt(r2)*sin(theta)
  
  OUT }

创建此函数可让您轻松地在任意圆上生成任意数量的点。（如果您想要扩展这个问题的有趣练习，请尝试修改上述函数以创建一个新函数，该函数在具有任意中心和半径的超球runifball面上生成均匀随机值。）我们可以通过绘制大量样本值的结果。

#Generate points uniformly on a circle
set.seed(1)
n      <- 10^5
CENTRE <- c(5, 3)
RADIUS <- 3
UNIF   <- runifcircle(n, centre = CENTRE, radius = RADIUS)

#Plot the points
plot(UNIF[1, ], UNIF[2, ], 
     col = rgb(0, 0, 0, 0.05), pch = 16, asp = 1,
     main = 'Points distributed uniformly over a circle', xlab = 'x', ylab = 'y')
points(x = CENTRE[1], y = CENTRE[2], col = 'red', pch = 16)