你需要担心的问题叫做内生性。更具体地说，这取决于是否$x_3$在人群中与$x_1$或者$x_2$. 如果是，则相关联$b_j$s 会有偏差。那是因为OLS回归方法强制残差，$u_i$，与你的协变量不相关，$x_j$s。但是，您的残差由一些不可约的随机性组成，$\varepsilon_i$，以及未观察到的（但相关的）变量，$x_3$, 根据规定与$x_1$和/或$x_2$. 另一方面，如果两者 $x_1$和$x_2$不相关$x_3$在人口中，那么他们的$b$s 不会因此而产生偏见（当然，它们很可能会受到其他事物的偏见）。计量经济学家试图处理这个问题的一种方法是使用工具变量。

为了更清楚起见，我在 R 中编写了一个快速模拟，演示了$b_2$是无偏的/以真实值为中心的$\beta_2$, 当它与$x_3$. 但是，在第二次运行中，请注意$x_3$与$x_1$， 但不是$x_2$. 并非巧合，$b_1$是公正的，但是$b_2$ 是有偏见的。

library(MASS)                          # you'll need this package below
N     = 100                            # this is how much data we'll use
beta0 = -71                            # these are the true values of the
beta1 = .84                            # parameters
beta2 = .64
beta3 = .34

############## uncorrelated version

b0VectU = vector(length=10000)         # these will store the parameter
b1VectU = vector(length=10000)         # estimates
b2VectU = vector(length=10000)
set.seed(7508)                         # this makes the simulation reproducible

for(i in 1:10000){                     # we'll do this 10k times
  x1 = rnorm(N)
  x2 = rnorm(N)                        # these variables are uncorrelated
  x3 = rnorm(N)
  y  = beta0 + beta1*x1 + beta2*x2 + beta3*x3 + rnorm(100)
  mod = lm(y~x1+x2)                    # note all 3 variables are relevant
                                       # but the model omits x3
  b0VectU[i] = coef(mod)[1]            # here I'm storing the estimates
  b1VectU[i] = coef(mod)[2]
  b2VectU[i] = coef(mod)[3]
}
mean(b0VectU)  # [1] -71.00005         # all 3 of these are centered on the
mean(b1VectU)  # [1] 0.8399306         # the true values / are unbiased
mean(b2VectU)  # [1] 0.6398391         # e.g., .64 = .64

############## correlated version

r23 = .7                               # this will be the correlation in the
b0VectC = vector(length=10000)         # population between x2 & x3
b1VectC = vector(length=10000)
b2VectC = vector(length=10000)
set.seed(2734)

for(i in 1:10000){
  x1 = rnorm(N)
  X  = mvrnorm(N, mu=c(0,0), Sigma=rbind(c(  1, r23),
                                         c(r23,   1)))
  x2 = X[,1]
  x3 = X[,2]                           # x3 is correated w/ x2, but not x1
  y  = beta0 + beta1*x1 + beta2*x2 + beta3*x3 + rnorm(100)
                                       # once again, all 3 variables are relevant
  mod = lm(y~x1+x2)                    # but the model omits x3
  b0VectC[i] = coef(mod)[1]
  b1VectC[i] = coef(mod)[2]            # we store the estimates again
  b2VectC[i] = coef(mod)[3]
}
mean(b0VectC)  # [1] -70.99916         # the 1st 2 are unbiased
mean(b1VectC)  # [1] 0.8409656         # but the sampling dist of x2 is biased
mean(b2VectC)  # [1] 0.8784184         # .88 not equal to .64

让我们用几何术语来考虑这一点。想想一个“球”，一个球的表面。它被描述为$r^2 = ax^2+by^2+cz^2 + \epsilon$. 现在，如果您有以下值$x^2$,$y^2$,$z^2$, 你有测量值 $r^2$然后你可以确定你的系数“a”、“b”和“c”。（你可以称它为椭球体，但称它为球更简单。）

如果你只有 $x^2$， 和$y^2$条款然后你可以做一个圆圈。您将描述一个实心圆，而不是定义球的表面。您改为拟合的方程式是$r^2 \le ax^2 + by^2 + \epsilon$.

您正在将“球”（无论它是什么形状）投射到圆的表达式中。它可能是一个对角定向的“球”，形状更像缝纫针，所以$z$组件完全破坏了两个轴的估计。它可能是一个看起来像一个几乎被压碎的 m&m 的球，其中硬币轴是“x”和“y”，并且投影为零。没有“你无法知道它是什么”$z$“ 信息。

最后一段是在谈论“纯信息”案例，并没有考虑到噪音。现实世界的测量具有带噪声的信号。沿与轴对齐的周边的噪音将对您的合身性产生更大的影响。即使您有相同数量的样本，您的参数估计也会有更多的不确定性。如果它是一个不同于这个简单的线性轴导向情况的方程，那么事情可能会变成“梨形”。您当前的方程是平面形状的，因此 z 数据可能只是覆盖整个地图，而不是有界限（球的表面） - 投影可能是一个严重的问题。

做模特好吗？那是一个判断电话。了解问题细节的专家可能会回答这个问题。我不知道如果他们远离问题，是否有人可以给出一个好的答案。

您确实会失去一些好处，包括参数估计的确定性以及正在转换的模型的性质。

估计为$b_3$消失在 epsilon 和其他参数估计中。它包含在整个方程中，具体取决于底层系统。

其他答案虽然没有错，但使问题变得有点复杂。

如果$x_3$与$x_1$和$x_2$（并且真正的关系是指定的）然后你可以毫无问题地估计你的第二个方程。正如你所建议的，$\beta_3 x_3$将被（新的）误差项吸收。只要所有其他 OLS 假设成立，OLS 估计将是无偏的。