名字 ”$t$-测试”和“$z$-test”通常用于指代特殊情况$X$是正常的$\mbox{N}(\mu,\sigma^2)$,$\hat{b}=\bar{x}$和$C=\mu_{0}$. 但是，您当然可以构建“$t$-test type”在其他设置中也是如此（想到引导程序），使用相同类型的推理。

无论哪种方式，区别在于$\mbox{s.e.}(\hat{b})$部分：

• 在一个$z$-test，标准差$\hat{b}$假定 已知无误。在上面提到的特殊情况下，这意味着$\mbox{s.e.}(\bar{x})=\sigma/\sqrt{n}$.
• 在一个$t$-test，使用数据进行估计。在上面提到的特殊情况下，这意味着$\mbox{s.e.}(\bar{x})=\hat{\sigma}/\sqrt{n}$， 在哪里$\hat{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}$是一个估计量$\sigma$.

之间的选择$t$-测试和一个$z$-test 因此，取决于是否$\sigma$在收集数据之前是已知的。

两个统计量分布不同的原因是$t$-statistic 包含更多未知数。这导致它更加可变，因此它的分布具有更重的尾部。作为样本量$n$增长，估计器$\hat{\sigma}$非常接近真实$\sigma$， 以便$\sigma$基本上是已知的。所以当样本量很大时，$\mbox{N}(0,1)$分位数也可用于$t$-测试。