泊松过程涉及“无记忆”的等待时间，直到下一位顾客的到来。假设从一位顾客到另一位顾客的平均时间是$\theta$. 直到下一次到达的无记忆连续概率分布是这样一种概率分布，其中在下一次到达之前等待额外一分钟、一秒或一小时等的概率不取决于自上一次到达以来您已经等待了多长时间. 自上次到达以来您已经等待了 5 分钟，这与您在上次到达后仅等待 10 秒相比，客户在下一分钟到达的可能性更大。

这自动意味着等待时间$T$直到下一次到达满足$\Pr(T>t) = e^{-t/\theta}$，即它是指数分布。

这反过来又可以表明，的时间间隔内到达的顾客满足，即它具有期望值的泊松分布。此外，这意味着在非重叠时间间隔内到达的客户数量在概率上是独立的。$X$$t$$\Pr(X=x) = \dfrac{e^{-t/\theta} (t/\theta)^x}{x!}$$t/\theta$

因此，等待时间的无记忆性导致了泊松过程。

几乎所有关于排队论或随机过程的介绍书都会涵盖这一点，例如，Ross，Stochastic Processes，或 Kleinrock，Queuing Theory。

对于无记忆到达导致指数 dist'n 的证明大纲：

令 G(x) = P(X > x) = 1 - F(x)。现在，如果分布是无记忆的，

G(s+t) = G(s)G(t)

即，x > s+t 的概率 = 它大于 s 的概率，现在它大于 s，它大于 (s+t)。无记忆属性意味着第二个（条件）概率等于具有相同分布的不同 rv > t 的概率。

引用罗斯的话：

“满足任何合理条件（例如单调性、左右连续性，甚至可测性）的上述方程的唯一解具有以下形式：”

对于某个合适的 a 值，G(x) = exp(-ax)。

我们处于指数分布。