观察到，在涉及从受污染的高斯分布中提取的数据的示例中，您可以通过使用$\text{mad}$代替$\text{med}|x-\text{med}(x)|$在哪里$\text{mad}(x)$是：

$$\text{mad}=1.4826\times\text{med}|x-\text{med}(x)|$$

- 在哪里，$(\Phi^{-1}(0.75))^{-1}=1.4826$是一个一致性因子，旨在确保

$$\text{E}(\text{mad}(x)^2)=\text{Var}(x)$$ 什么时候$x$未受污染——最初由 Gauss 制造（Walker, H. (1931)）。

我想不出任何理由不使用$\text{med}$在这种情况下，而不是样本均值。较低的效率（在高斯！）$\text{mad}$可能是不使用的理由$\text{mad}$在你的例子中。但是，存在同样强大和高效的替代方案$\text{mad}$. 其中之一是$Q_n$. 除了这个估计器还有许多其他优点。它对异常值也非常不敏感（实际上几乎和疯子一样不敏感）。与疯子相反，它不是围绕位置估计建立的，也没有假设数据中未污染部分的分布是对称的。像疯子一样，它基于订单统计数据，因此即使您的样本的基本分布没有矩，它也总是得到很好的定义。像疯子一样，它有一个简单的显式形式。甚至比疯子还多，我认为没有理由使用样本标准差而不是$Q_n$在您描述的示例中（请参阅 Rousseeuw 和 Croux 1993 了解有关$Q_n$）。

至于你的最后一个问题，关于具体情况$x\sim\Gamma(\nu,\lambda)$， 然后

$$\text{med}(x)\approx\lambda(\nu-1/3)$$

和

$$\text{mad}(x)\approx\lambda\sqrt{\nu}$$

（在这两种情况下，当$\nu>1.5$） 以便

$$\hat{\nu}=\left(\frac{\text{med}(x)}{\text{mad}(x)}\right)^2$$

和

$$\hat{\lambda}=\frac{\text{mad}(x)^2}{\text{med}(x)}$$

完整的推导参见 Chen 和 Rubin (1986)。

• J. Chen 和 H. Rubin，1986 年。Gamma 和 Poisson 分布的中位数和平均值之间的差异界限，统计学家。概率。快报，4，281-283。
• PJ Rousseeuw 和 C. Croux，1993 年。美国统计协会中值绝对偏差期刊的替代方案，卷。88，第 424 号，第 1273-1283 页
• 沃克，H. (1931)。统计方法史研究。马里兰州巴尔的摩：Williams & Wilkins Co.，第 24-25 页。

如果正如您断言的那样，除了一小部分异常值之外，数据是正常的，则中位数和中位数绝对偏差将对严重错误具有鲁棒性，但不会非常有效地利用非异常数据中的信息。

如果您知道异常值比例的先验界限，您可以修剪该比例以获得平均值并将标准差Winsorize 。不需要此类知识的另一种方法是使用M 估计量来表示位置，并使用相关量来表示方差。如果您的假设是正确的（例如除了一小部分异常值之外，数据确实是正常的）在某些情况下效率的提高可能是可观的。

中值偏差作为标准偏差的估计值是有偏差的 -但不像$\frac{n}{n-1}$调整; 未调整的样本均方渐近方差，但样本中位数绝对偏差不渐近总体标准差；您只需将其乘以一个常数即可获得一致性。完成之后，它仍然是小样本偏差，与未调整的均方具有相同的意义。