我见过的大多数证明都很简单，以至于高斯（不管他怎么做）可能发现证明起来很容易。

我一直在寻找可以将您链接到的关于 CV 的推导（有许多指向场外证明的链接，包括此处的答案中的至少一个），但我没有在 CV 中找到一个几个搜索，所以为了完整起见，我会给出一个简单的。鉴于其简单性，很容易看出人们将如何开始使用通常称为Bessel 校正的方法。

这将作为假设知识，并假设前几个基本方差属性是已知的。$E(X^2)=\text{Var}(X) + E(X)^2$

$$\begin{eqnarray} E[\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar x)^2] &=& E[\sum_{i=1}^{n} x_i^2-2\bar x\sum_{i=1}^{n} x_i+n\bar{x}^2]\\ &=& E[\sum_{i=1}^{n} x_i^2-n\bar{x}^2] \\ &=& n E[x_i^2]- n E[\bar{x}^2]\\ &=& n (\mu^2 + \sigma^2) - n(\mu^2+\sigma^2/n)\\ &=& (n-1) \sigma^2 \end{eqnarray}$$

该校正称为贝塞尔校正，它有数学证明。就个人而言，我是用简单的方法教它的：使用是你纠正的偏差的方法（见这里）。$n-1$$E[\frac{1}{n}\sum_1^n(x_i - \bar x)^2]$

您也可以根据自由度的概念来解释校正，并不严格需要模拟。

根据 Weisstein 的《数学世界》，它于 1823 年由 Gauss 首次证明。参考是 Gauss' Werke 的第 4 卷，可在https://archive.org/details/werkecarlf04gausrich阅读。相关页面似乎是47-49。似乎高斯调查了这个问题并提出了一个证明。我不看拉丁文，但文中有德文摘要。第 103-104 页解释了他的所作所为（编辑：我添加了粗略的翻译）：

Allein da man nicht berechtigt ist, die sichersten Werthe fuer die wahren Werthe selbst zu halten, so ueberzeugt man sich leicht, dass man durch dieses Verfahren allemal den wahrscheinlichsten und mittleren又名 sie wirklich besitzen。[但是由于人们无权将最可能的值视为实际值，因此人们可以很容易地说服自己，必须始终发现最可能的误差和平均误差太小，因此给定的结果拥有比他们真正拥有的更高的准确性。]

由此看来，众所周知，样本方差是对总体方差的有偏估计。文章接着说，两者之间的差异通常被忽略，因为样本量是否足够大并不重要。然后它说：

Der Verfasser hat daher diesen Gegenstand eine besondere Untersuchung unterworfen, die zu einem sehr Merkwuerdigen hoechst einfachen Resultate gefuehrt hat。Man braucht nemlich den nach dem angezeigten fahlerhaften Verfahren gefundenen mittleren Fehler, um ihn in die Richtigen zu verwandeln, nur mit

$$\sqrt{\frac{\pi-\rho}{\pi}}$$

zu multiplieren，wo die Anzahl der beobachtungen（观察次数）和 die Anzahl der unbekannten groessen（未知数） bedeutet。[因此作者对这个物体进行了专门的研究，得出了一个非常奇怪和极其简单的结果。即，只需将上述错误过程发现的平均误差乘以（给定表达式）即可将其变为正确的误差，其中是观测数，是未知量数。]$\pi$$\rho$$\pi$$\rho$

所以如果这确实是第一次发现修正，那么似乎是通过高斯的巧妙计算找到的，但人们已经意识到需要进行一些修正，所以在此之前也许其他人可以凭经验找到它. 或者可能以前的作者不关心得出确切的答案，因为他们无论如何都在使用相当大的数据集。

摘要：手册，但人们已经知道分母中不太正确。$n$

对我来说，一种直觉是

$$\begin{array}{c} \mbox{The degree to which}\\ X_{i}\mbox{ varies from }\bar{X} \end{array}+\begin{array}{c} \mbox{The degree to which}\\ \bar{X}\mbox{ varies from }\mu \end{array}=\begin{array}{c} \mbox{The degree to which }\\ X_{i}\mbox{ varies from }\mu. \end{array}$$

那是，

$$\mathbf{E}\left[\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}\right]+\mathbf{E}\left[\left(\bar{X}-\mu\right)^{2}\right]=\mathbf{E}\left[\left(X_{i}-\mu\right)^{2}\right].$$

实际上证明上述等式需要一些代数（这个代数与上面@Glen_b 的答案非常相似）。但假设它是真的，我们可以重新排列得到：

$$\mathbf{E}\left[\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}\right]=\underset{\sigma^{2}}{\underbrace{\mathbf{E}\left[\left(X_{i}-\mu\right)^{2}\right]}}-\underset{\frac{\sigma^{2}}{n}}{\underbrace{\mathbf{E}\left[\left(\bar{X}-\mu\right)^{2}\right]}}=\frac{n-1}{n}\sigma^2.$$

对我来说，另一个直觉是使用而不是会引入偏见。而这个偏差正好等于。$\bar{X}$$\mu$$\mathbf{E}\left[\left(\bar{X}-\mu\right)^{2}\right]=\frac{\sigma^2}{n}$