假设假设值具有离散分布，其中是可数集，假设值在中，密度为和 CDF。$X$$k \in K$$(p_k)_{k \in K}$$K$$Y$$\mathbb R$$f_Y$$F_Y$

让。我们有 可以微分得到的 $Z = X + Y$

$$\mathbb P( Z \leq z) = \mathbb P(X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq z - X \mid X = k) \mathbb P(X = k) = \sum_{k \in K} F_Y(z-k) p_k,$$ $Z$ $$f_Z(z) = \sum_{k \in K} f_Y(z-k) p_k.$$

现在让并假设。那么 再次可以微分得到密度函数。$R = X Y$$p_0 = 0$

$$\mathbb P(R \leq r) = \mathbb P(X Y \leq r) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq r/X) \mathbb P(X= k) = \sum_{k \in K} F_Y(r/k) p_k,$$

但是，如果，则，这表明在这种情况下在 0 处有一个原子。$p_0 > 0$$\mathbb P(X Y = 0) \geq \mathbb P(X = 0) = p_0 > 0$$XY$

设是具有概率质量函数，其中是离散集（可能是无限的）。随机变量可以被认为是具有以下概率密度函数的连续随机变量$X$$p_X : \mathcal{X} \to [0,1]$$\mathcal{X}$$X$

$$f_X (x) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, \delta (x - x_k)$$

其中是狄拉克 delta 函数。$\delta$

如果是连续随机变量，则是混合随机变量。由于我们知道和的概率密度函数，我们可以计算的概率密度函数。假设和是独立的，则的概率密度函数由概率密度函数和的卷积给出$Y$$Z := X+Y$$X$$Y$$Z$$X$$Y$$Z$$f_X$$f_Y$

$$f_Z (z) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, f_Y (z - x_k)$$

这个答案假设和是独立的。这是一个不需要该假设的解决方案。$X$$Y$

编辑：我假设“连续”意味着“有一个 pdf”。如果连续的意思是无原子的，证明是相似的；只需将下面的“Lebesgue null set”替换为“singleton set”即可。

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设的支持为可数集。我会用$X$$\{x_1,x_2,x_3\dots\}$

引理：当且仅对于所有 Borel 可测集且 Lebesgue 测度为零，随机变量$Z$$P(Z\in E)=0$$E$

证明：使用Lebesgue-Radon-Nikodym 定理。$\square$

为了证明是连续的，取任意空集，并注意 但当且仅当。移位集仍然是 Lebesgue 空值。由于是连续的，这意味着，所以上面的和为零，证明是连续的。$X+Y$$E$

$$P(X+Y\in E)=\sum_k P(\{Y+x_k\in E\}\cap \{X=x_k\})\le \sum_k P(Y+x_k\in E)$$ $Y+x_k\in E$$Y\in E-x_k$$E-x_k$$Y$$P(Y+x_k\in E)=0$$X+Y$

对于产品的问题，只要 ，同样的逻辑适用。如果，则是离散的。否则，是非平凡混合。$P(X=0)=0$$P(X=0)=1$$XY$$P(XY=0)=1$$XY$