正态近似效果非常好，尤其是在尾部。使用的方差。例如，在艰难情况下（可能需要关注偏度）的尾部概率中的绝对相对误差，例如左右达到峰值，而你处于与平均值相差超过 1 个标准差。（这不是因为 beta 太大：使用，绝对相对误差以$\alpha/(\alpha+\beta)$$\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^{2} (1+\alpha+\beta)}$$\alpha = 10^6, \beta = 10^8$$0.00026$$0.00006$$\alpha = \beta = 10^6$$0.0000001$.) 因此，这种近似对于涉及 99% 区间的任何目的基本上都是极好的。

鉴于对问题的编辑，请注意，实际上并不通过积分被积函数来计算 beta 积分：当然你会得到下溢（尽管它们并不重要，因为它们对积分没有明显贡献） . 如 Johnson & Kotz（统计分布）中所述，有很多很多方法可以计算积分或近似积分。在http://www.danielsoper.com/statcalc/calc37.aspx可以找到在线计算器。你实际上需要这个积分的倒数。Mathematica 网站http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/InverseBetaRegularized/记录了一些计算逆的方法。代码在数字食谱中提供。Wolfram Alpha 网站是一个非常好的在线计算器（www.wolframalpha.com）：输入inverse beta regularized (.005, 1000000, 1000001)左端点和inverse beta regularized (.995, 1000000, 1000001)右端点（ , 99% 间隔）。$\alpha=1000000, \beta=1000001$

一个快速的图形实验表明，当 alpha 和 beta 都非常大时，beta 分布看起来非常像正态分布。通过谷歌搜索“beta distribution limit normal”，我发现http://nrich.maths.org/discus/messages/117730/143065.html?1200700623给出了一个挥手的“证明”。

beta 分布的维基百科页面给出了它的均值、众数（v 接近大 alpha 和 beta 的均值）和方差，因此您可以使用具有相同均值和方差的正态分布来获得近似值。对于您的目的而言，它是否是一个足够好的近似值取决于您的目的是什么。

我将推断你想要一个区间，这样从 Beta RV 随机抽取的概率在概率为 0.99 的区间内，和的加分点围绕模式对称。通过高斯不等式或 Vysochanskii-Petunin 不等式，您可以构造包含区间的区间，并且是相当不错的近似值。对于足够大的，即使将和表示为不同的数字，您也会遇到数值下溢问题，因此这条路线可能已经足够好了。$[l,r]$$l$$r$$[l,r]$$\alpha, \beta$ $l$$r$

如果是一个 beta 分布变量，那么它是的对数几率（即：近似正态分布。即使对于高度偏斜的 beta 分布也是如此，例如$p$$p$$log(p/(1-p))$$min(\alpha,\beta) > 100$

例如

f <- function(n, a, b) {
    p <- rbeta(n, a, b)
    lor <- log(p/(1-p))
    ks.test(lor, 'pnorm', mean(lor), sd(lor))$p.value
}
summary(replicate(50, f(10000, 100, 1000000)))

通常会产生类似的输出

摘要(复制(50, f(10000, 100, 1000000))) 最小。第一曲。中位数平均第三曲。最大限度。0.01205 0.10870 0.18680 0.24810 0.36170 0.68730

即典型的 p 值约为 0.2。

因此，即使有 10000 个样本，Kolmogorov-Smirnov 检验也无法区分β的高度偏斜的 beta 分布变量的对数优势比变换。$\alpha=100, \beta=100000$

分布的类似测试$p$本身

f2 <- function(n, a, b) {
    p <- rbeta(n, a, b)
    ks.test(p, 'pnorm', mean(p), sd(p))$p.value
}
summary(replicate(50, f2(10000, 100, 1000000)))

产生类似的东西

summary(replicate(50, f2(10000, 100, 1000000)))
     Min.   1st Qu.    Median      Mean   3rd Qu.      Max. 
2.462e-05 3.156e-03 7.614e-03 1.780e-02 1.699e-02 2.280e-01 

典型 p 值约为 0.01

Rqqnorm函数还提供了有用的可视化效果，为对数概率分布生成了一个非常直观的图，指示近似正态性 beta 分布变量的分布产生了一条表明非正态性的独特曲线

因此，即使对于高度偏斜的情况，在对数赔率空间中使用高斯近似也是合理的$\alpha,\beta$只要两者都超过 100 的值。