二阶差分是二阶导数的离散类比。对于离散时间序列，二阶差分表示序列在给定时间点的曲率。如果二阶差分为正，则时间序列此时向上弯曲，如果二阶差分为负，则时间序列此时向下弯曲。

离散时间序列的二阶差分$\{ X_t | t \in \mathbb{Z} \}$有时$t$是：

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta^2 X_t = \Delta (\Delta X_t) &= \Delta (X_t-X_{t-1}) \\[6pt] &= \Delta X_t - \Delta X_{t-1} \\[6pt] &= (X_t-X_{t-1})-(X_{t-1}-X_{t-2}) \\[6pt] &= X_t - 2X_{t-1} + X_{t-2}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

这是积极的，如果$\Delta X_t > \Delta X_{t-1}$如果是负数$\Delta X_t < \Delta X_{t-1}$（如果为零，则为$\Delta X_t = \Delta X_{t-1}$）。如果此时序列的向上（向下）变化比前一次多，则存在正曲率，如果此时序列的向上（向下）变化比前一次少，有负曲率。

两个想法：

递归。在你一阶差异之后，你有什么？另一个时间序列，在适当的条件下，更接近静止。如果它不够接近，你现在有一个不是静止的时间序列，你想把它移近静止，所以你取一阶差分。（这恰好是原始时间序列的二阶差分。）如果差分时间序列不够接近平稳，你... [递归] ...

衍生物。想象一下，您每 10 分钟记录一次汽车的 GPS 位置。如果我可以从任何两天获取 GPS 点并将它们展示给您，而您无法弄清楚它可能是哪一天——也许甚至无法真正区分一天与另一天——您的位置数据将是静止的。

但是，假设您连续两周每天开车去附近的不同城市？你很容易就能分辨出这几天之间的区别——甚至可能确切地知道我向你展示的是哪一天。不是静止的。

也许如果您改为每 10 分钟记录一次离家的距离，这会使您的数据更加稳定。距离不包括方向，所以也许现在这两周的数据看起来几乎一样？（例如，平均位置是家。）

相反，假设您选择从纽约直接开车到洛杉矶。距离技巧是行不通的，因为你的距离会给你一个很明显的天数之间的区别。

但是您可能会选择每 10 分钟记录一次您的速度。在州际系统上驾驶越野，你的日子往往看起来很相似，速度方面。也就是说，您的速度将是静止的。

比如说，时间 0 的位置是$L_0$, 10 和 20 分钟后是$L_1$和$L_2$， 分别。每 10 分钟间隔行驶的距离为$D_1 = L_1 - L_0$和$D_2 = L_2 - L_1$，当除以时间间隔时产生速度（与速度的单位相同，但有方向）。第二个微分，$A_2 = D_2 - D_1 = L_2 - 2 L_1 + L_0$是加速度。如果速度是静止的，而车辆一直在移动，则位置差异也将是静止的。