确实，如果您的 SD 之一为 0，则该等式未定义。但是，考虑这一点的更好方法是，如果您的 SD 之一为 0，则没有相关性。用松散的概念术语来说，相关性告诉您一个变量如何随着另一个变量的移动而移动。SD 为 0 意味着变量没有“移动”。您必须有一个常数向量，例如rep(constant, n_times).

当我们谈论均值和标准差以及相关性时，要考虑的另一件事是潜在的假设。

如果我们谈论的是数据样本，一个常见的假设是数据是（至少近似地）正态分布的，或者可以转换成正态分布（例如通过对数转换）。如果您观察到标准偏差为零，则有两种情况：标准偏差实际上是非零的，但非常小，因此您拥有的数据集的样本都在平均值上（例如，这可能发生如果您以粗略的精度测量数据）；或模型指定错误。

在第二种情况下，标准偏差以及相关性是无意义的度量。

更一般地，基础分布必须都具有有限的二阶矩，因此必须具有非零标准偏差，相关性才能成为有效的概念。

相关性是两个向量之间夹角的余弦值。说 Y 的标准差为零与说向量 Y-mean(Y) 为零（或者更严格地说，它在适当的向量空间中表示零）是一样的。所以问题变成了“关于零向量和向量 X-mean(X) 之间的角度（余弦）可以说什么？”。更一般地，在任何具有内积的向量空间中，零向量与其他向量之间的角度是什么意思？在我看来，只有一个答案，那就是这种情况下的“角度”概念是没有意义的，所以这种情况下的相关性概念是没有意义的。

免责声明，我意识到已经有一个公认的高质量答案，所以这应该是一个回应，但我没有经验点来允许它。@Dilip 提到您可以将相关性定义为 0 进行约定，但这似乎是有问题的，因为它与真正为零的相关性（具有非零 SD）有非常不同的解释。最初的问题是“如果一个变量的 SD 为零”。如果我们停下来想想“变量”的定义，那么我们就会得到一条更直接的答案。SD 为 0 的变量根本不是变量，而是常数。所以在那种情况下，你没有两个变量，所以在概念上定义相关性根本没有意义。