的选择$R^2$或调整$R^2$取决于你想要做什么。在回归上下文中，正则$R^2$用作模型拟合优度的度量。但是，假设您正在比较几个具有不同数量参数的模型。在所有条件相同的情况下，具有更多参数的模型将更符合您的观察。在极限情况下，您可以拥有一个模型，其中每个数据点的参数都只有一个；这将使您完美地适应您的观察结果，但对于新的预测将无用，因为它会捕获潜在的“信号”和任何相关的噪声。调整后$R^2$是试图通过调整来解决这个问题$R^2$根据模型中参数的数量取值。

因此，它们的用途略有不同。$R^2$描述了不同数据集对模型的拟合程度。您可能会写类似“上述模型准确地预测了 A 部分的性能（$r^2$=0.9)，但不是小部件 B ($r^2$=0.05) 在标准测试条件下。" 调整$R^2$描述了不同模型对相同数据（或相似数据）的拟合程度。例如，“短期和长期问卷的结果对客户的年度支出的预测同样好（调整后的$R^2$= 0.8 两者）。”

不想因@ttnphns 的回答而受到赞扬，我想将答案从评论中移出（特别是考虑到文章的链接已经失效）。马特克劳斯的回答提供了一个有用的讨论$R^2$和$R^2_{adj}$但它没有讨论哪个决定$R^2_{adj}$在任何给定情况下使用的公式。

正如我在这个答案中所讨论的那样，Yin and Fan (2001) 很好地概述了用于估计总体方差的许多不同公式。$\rho^2$, 所有这些都可能被标记为一种调整过的$R^2$.

他们执行模拟以评估在各种调整后的 r 平方公式中，哪些可以为不同的样本量提供最佳的无偏估计，$\rho^2$, 和预测变量的相关性。他们认为普拉特公式可能是一个不错的选择，但我不认为这项研究对此事是确定的。

更新： Raju 等人 (1997) 注意到调整$R^2$公式的不同取决于它们是否旨在估计调整后的$R^2$假设固定 x 或随机 x 预测器。具体来说，Ezekial 公式旨在估计$\rho^2$在固定 x 上下文中，Olkin-Pratt 和 Pratt 公式旨在估计$\rho^2$在 random-x 上下文中。Olkin-Pratt 和 Pratt 公式之间没有太大区别。Fixed-x 假设与计划的实验一致，random-x 假设与您假设预测变量的值是可能值的样本（如观察性研究中的典型情况）一致。请参阅此答案以进行进一步讨论。两种类型的公式之间也没有太大差异，因为样本量适中（参见此处了解差异大小的讨论）。

经验法则摘要

• 如果您假设您对预测变量的观察是来自总体的随机样本，并且您想要估计$\rho^2$对于预测变量和标准的全部人群（即随机 x 假设），然后使用 Olkin-Pratt 公式（或 Pratt 公式）。
• 如果您假设您的观察结果是固定的，或者您不想泛化超出您观察到的预测变量水平，则估计$\rho^2$用以西结公式。
• 如果您想了解使用样本回归方程的样本外预测，那么您需要研究某种形式的交叉验证程序。

参考

• Raju, NS, Bilgic, R., Edwards, JE, & Fleer, PF (1997)。方法审查：估计总体有效性和交叉有效性，以及在预测中使用相等的权重。应用心理测量，21（4），291-305。
• 尹 P. 和范 X. (2001)。估计$R^2$多元回归中的收缩：不同分析方法的比较。实验教育杂志，69（2），203-224。PDF格式