尚未注意到的是，简单地反转 PC 的符号会产生不同的解决方案。也就是说，如果$\mathbf{w}$是个$n$主成分，然后$-\mathbf{w}$也是一个解决方案$n$主成分。这在以前引起了混乱，尤其是当您的计算机输出交替的 PC 时。看到这个问题。

不，答案不是唯一的。有很多方法可以证明这一点。一种可能性是注意到正方形的谱分解$p$经过$p$矩阵$X$是凸函数最大化的解$w$. 考虑第一个特征向量/值：

（在哪里$\lambda_1$是第一个特征值和$w^*$第一个特征向量）。

此类问题的解决方案（例如$w$达到该最大值）通常不是唯一的。

然而，计算这些解决方案的算法是确定性的，这意味着除了数值极端情况外，您得到的解决方案应该是相同的。

此类数值极端情况的示例：几个特征值（在数值上）相同的情况，$X$排名不足...

这取决于。

如果协方差矩阵的特征值不同，则 PCA 是唯一的。否则没有。

主成分的方差由 λi 给出，这一事实对 PCA 的唯一性具有重要意义。如果两个特征值相等，则这些主成分的方差相等。然后，主成分不再明确定义，因为我们可以对这些主成分进行旋转而不影响它们的方差。这是因为如果 p zi 和 zi+1 具有相同的方差，那么线性组合例如 1/2zi + p 1/2zi+1 和 p 1/2zi - p 1/2zi+1 也具有相同的方差；仍然满足所有约束（单位方差和正交性），因此这些是同样有效的主成分。事实上，在线性代数中，众所周知，只有当特征值都不同时，特征值分解才是唯一定义的。

资料来源：主成分分析；阿波·海瓦里宁；基于《自然图像统计》一书的材料，2009；https://www.mv.helsinki.fi/home/amoaning/movies/uml/pca_handout.pdf

或者

如果协方差矩阵的特征值彼此不同，则 PCA 在符号上是唯一的。

PCA 是否唯一，即是否只有一种 PCA 解决方案。多种解决方案可能满足 PCA 标准。我们考虑分解 X = Y UT 其中 U 是正交的，YTY = Dm 以 Dm 为 m 维对角矩阵，并且 Dm 的特征值是递增排序的。

资料来源：机器学习：无监督技术；2014; 塞普·霍克瑞特；林茨约翰内斯开普勒大学生物信息学研究所